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学习活动一：等价关系与划分

【活动时间】第四周——第五周

【活动目标】熟悉等价关系的定义，理解等价关系与划分之间的联系。

【活动形式】问答

【活动内容】回答下面问题

问题1：请举出具有反身性、对称性，但不具有传递性的关系的例子。

答：整除关系具有反身性,传递性,但不具有对称性。

问题2：请举出实际生活中的等价关系的例子。

答：例子:

(1)集合上的恒等关系,全域关系是等价关系.

(2)三角形的全等关系,三角形的相似关系是等价关系.

(3)在一个班级里“年龄相等”的关系是等价关系.

等价关系说明了二元关系的一种“自反性”，“对称性”和“传递性”。

从另一个角度说，等价关系其实可以不依赖二者之间的联系，而是共享一种特

点。举个正例：校友关系，其实并不一定两个同校学生需要有什么联系，只需

要满足都是某个学校的学生这个属性就行了。1、你和你自己是校友2、如果你

和小明是校友，那么小明也一定和你是校友3、如果你和小明是校友，小明和小

红是校友，那么你和小红也是校友因为互为校友／不互为校友的二者的“自反”，

“传递”，“对称”的。举个反例：暗恋关系你暗恋小红，但是小红并没有暗

恋你。所以暗恋关系中的两人不是等价关系。因为在暗恋中，暗恋者与被暗恋

者并不“对称”。

问题3：请说明你所举例的等价关系所对应的划分。

答：找出集合A的所有划分，每一个划分对应一个等价关系。

集合的划分就是对集合的元素分块，看到底是分成几块。

分成一块的有：

划分1：{{1,2,3,4}}，对应的等价关系就是全域关系E，也就是A×A。

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分成两块的有：

划分2：{{1,2},{3,4}}，

划分3：{{1,3},{2,4}}，

划分4：{{1,4},{2,3}}，

分成三块的有：

划分5：{{1},{2,3,4}}，

划分6：{{2},{1,3,4}}，

划分7：{{3},{1,2,4}}，

划分8：{{4},{1,2,3}}，

分成四块的有：

划分9：{{1},{2},{3},{4}}，对应的等价关系就是恒等关系I。

由划分求等价关系：a,b∈R当且仅当a,b在同一个划分块中。

【评价标准】满分10分。

仅参与活动，未正确答题，6分；

正确回答一个问题，且答案是原创的，8分；

正确回答二个问题，且答案是原创的，9分；

正确回答三个问题，且答案是原创的，10分。

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学习活动二：拉格朗日定理

【活动时间】第七周——第八周

【活动目标】理解拉格朗日定理的内涵及意义。

【活动形式】自由讨论

【活动内容】请根据自己的理解，谈一谈你对拉格朗日定理的认识。

主题一：拉格朗日定理表达的是什么意思？说明了什么问题？

答：拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理;微积

分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。