完全平方数的基本概念与应用.pdfVIP

第1讲完全平方数

如果一个数恰好是某个自然数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,

400,441,484,…

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平

方数。

2.重点公式：平方差公式：ab(ab)(ab)22

222

完全平方差公式：（a-b）＝a-2ab+b

222

完全平方和公式：(a+b)＝a+2ab+b

例1、数a乘以60，积是一个完全平方数，则a的最小值是多少？

2

解：60=2×2×3×5，（2×3×5），=2×3×5×2×3×5，=60×3×5=60×15，

所以a的最小值是15．

例2、某校2011年的学生人数是个完全平方数，2012年的学生人数比上一年多

101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2012年的学生人数是多少？

2222

解：设2011年、2012年的学生人数分别为n，m，则m-n=101，即（m+n）（m-n）

=101，由于101=1×101，所以，（m+n）（m-n）=101×1．则m+n=101，m-n=1，

2

所以，m=51，n=50．则2012年的学生人数为51=2601人．故答案为：2601．

例3、1×1=1，2×2=4，3×3=，4×4=16，…，式中的积1，4，，16，…叫做

完全平方数，在1至100这100个自然数中，非完全平方数的和是多少？

解：在1至100这100个自然数中，非完全平方数的和是：（1+100）×100÷2-

（1+4+9+16+25+36+49+64+81+100）=4665

例4、有一个自然数，它与160的和等于某一个数的平方，它与84的和又等于

另一个数的平方，那么，这个自然数是多少？

解：设这个自然数为x，它与160的和是m的平方．与84的和是n的平方，所

2222

以有：x+160=m，x+84=n，m-n=（m-n）×（m+n）=76，

因为m-n和m+n奇偶性相同，76是偶数，所以m-n和m+n都是偶数，且76分解

为两个偶数的乘积只有76=2×38，所以：（m-n）（m+n）=2×38=（20-18）×

2

（20+18），m=20，n=18．所以x+160=20，x=240．故答案为：240．

例5、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．

那么甲最小是多少？

解：135=5×3×3×3，因为乙+乙=丙×135，所以丙是偶数，因此丙最小应该是

2×2×5×3，所以甲×甲=2×2×5×3×135=8100=90×90，故甲最小是90．故

答案为：90．

例6、123456787654321×（1+2+3+4…8+…4+3+2+1）是一个数的平方，则这个

数是多少？

2

解：根据各位数字都是1的数的平方的特点可知：123456787654321

1+2+3+4…8+…4+3+2+1，==82

222

所以123456787654321×（1+2+3+4…8+…4+3+2+1）×8．

即这个数是8