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专题15数列中的情景题及数学文化题
一、单选题
1．明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（????）
A．35 B．32 C．29 D．26
【答案】A
【解析】根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，则，解得．故选A
2．（2024届辽宁省六校高三上学期期初考试）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
所以
，
.故选D.
3．《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（????）尺
A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
【答案】C
【解析】由题意可知：十二个节气的日影子长为等差数列，
设为，公差为d，其前n项和为，则，代入得：，解得：.故选C.
4．（2023届广东省揭阳市惠来县高三最后一模）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以，，解得，所以，此人后三天所走的里程数为.故选D.
5．（2024届湖南省永州市双牌县高三上学期摸底联考）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（????）
A．324 B．297 C．256 D．168
【答案】A
【解析】由损益规律可知，即，
解得.故选A
6．（2023届河南省部分名校高三二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，?来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为记数列的前n项和为，则（????）
参考公式：.
A．169125 B．169150 C．338300 D．338325
【答案】B
【解析】由，
故.故选B
7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（????）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】由“冰雹猜想”可知：若，则，，若为偶数，则；若为奇数，则；综上所述：或.故选D.
8．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记第层有个球，则，，，，
结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数
．故选B
9．（2023届陕西省丹凤中学高三模拟）在数学中，欧拉-马?罗尼常数是数学中的一个重要常用无理数，为了便于仗用，我们认为，且．研究与的单调性，可得所在的区间为（????）（参考数据，）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以单调递减，则，
即．
因为，
所以单调递增，则当趋近于时，
，
所以，
所以，
故所在的区间为．故选C
10．（2023届甘肃省陇南市高三一模）
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