北师大版2019选择性必修第一册专题2.1椭圆(4类必考点)(原卷版+解析).docxVIP

专题2.1椭圆

TOC\o1-3\h\z\t正文,1

【考点1：椭圆的定义与标准方程】 1

【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 2

【考点3：椭圆的几何性质】 4

【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 6

【考点1：椭圆的定义与标准方程】

【知识点：椭圆的定义】

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：

(1)若ac，则集合P为椭圆．

(2)若a＝c，则集合P为线段．

(3)若ac，则集合P为空集．

【知识点：椭圆的标准方程】

(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.

(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.

(3)求椭圆标准方程的两种思路方法

①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．

1．（2022·江苏·南京市第二十九中学高二开学考试）椭圆x225+y29=1，△ABC的顶点B、C

A．35 B．45 C．1

2．（河南省南阳市第二完全学校高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题）设F1，F2是椭圆x24+y23=1

A．2 B．3 C．32 D．

3．（2023·上海·高三专题练习）已知平面上动点P到两个定点1,0和?1,0的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为__．

4．（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A3,0

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；

(3)经过点P?23,1

5．（2023·全国·高三专题练习）（1）求两个顶点为（3，0），（－3，0），离心率为22

（2）过点(3,?5

6．（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=1

【考点2：椭圆的焦点三角形问题】

【知识点：椭圆的焦点三角形问题】

(1)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．

(2)以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则

①|PF1|＋|PF2|＝2a.

②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.

③S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.

④焦点三角形的周长为2(a＋c)．

1．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：x225+y216=1的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、

A．10 B．15 C．20 D．25

2．（2022·全国·高二课时练习）已知F1，F2是椭圆C:x25+y29=1的两个焦点，

A．1 B．5 C．155

3．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F1，F2分别为椭圆C：x27+y23=1的左、右两焦点，P

A．4 B．6 C．8 D．10

4．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二阶段练习）设点P为椭圆C:x2a2+y24=1（a2)上一点，F

A．43 B．23 C．43

5．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的两个焦点，P

A．9 B．3 C．4 D．8

6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上.若P、F

A．95 B．977 C．94

7．（2022·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A

8．（2022·全国·高三专题练习）若P是椭圆x24+y23=1

9．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））如图，己知F1、F2是椭圆