人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第4章一元函数的导数及其应用 第3节利用导数研究函数的极值、最值.ppt

第3节利用导数研究函数的极值、最值

课标解读1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与极值、最大(小)值的关系.

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知识梳理1.函数的极值与导数函数极值反映的是函数局部的性质条件f(x0)=0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极值?f(x0)为极值?极值点x0为极值点?x0为极值点?极值点是一个实数大小大小x0左侧附近的任意x,都有f(x)0,对于x0右侧附近的任意x,都有f(x)0?x0左侧附近的任意x,都有f(x)0,对于x0右侧附近的任意x,都有f(x)0?

微点拨对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.

微思考若函数f(x)可导,则当f(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?提示不一定.f(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.

2.函数的最值与导数反映的是函数整体的性质(1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个;?(2)如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是,要么是.?极值点区间端点a或b极值点

2.函数的最值与导数反映的是函数整体的性质(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条的曲线,那么它必有最大值和最小值.?(2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的;?②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是,最小的一个是.?连续不断极值最大值f(a),f(b)最小值

微点拨对函数最值的理解(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值;(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在区间端点处取得;(3)函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.

常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:Δ0函数f(x)在R上存在极值(既有极大值又有极小值)函数f(x)在R上不是单调函数Δ≤0函数f(x)在R上不存在极值函数f(x)在R上是单调函数(单调递增或单调递减)

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.一个函数的极大值一定比极小值大.()2.函数在闭区间上的最值一定在端点处取得.()3.函数在开区间上的最值一定是相应的极值.()××√

题组二回源教材4.(人教B版选择性必修第三册6.2.2节练习B第3题改编)设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,则实数a的取值范围是,函数的极值点是.?(-∞,0)解析当a=0时,f(x)=3x+2没有极值,不合题意;当a≠0时,f(x)=3ax2+3,则f(x)=3ax2+3=0应有两个不相等的实数根,所以Δ=-36a0,解得a0,此时f(x)=0的根是x=±,此即为极值点.

5.(人教A版选择性必修第二册5.3.2节例7改编)给定函数f(x)=(x+1)ex,则函数的最小值为.?解析由已知得f(x)=(x+2)ex,令f(x)=0,得x=-2,当x-2时,f(x)0,f(x)单调递减,当x-2时,f(x)0,f(x)单调递增,因此f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=,所以由f(x