初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 3讲 全等三角形.docxVIP

第3讲全等三角形

知识方法

(1)全等三角形的基本判定方法有“边角边”“角边角”“边边边”三种.

证明两个三角形全等的关键是证明它们满足判定方法中的三个条件.具体的分析步骤是：先找出这两个三角形中已知或容易证明的对应的角或边来，然后根据判定方法来确定还需要证明哪些角或边相等，再设法证明这些角或边相等.

在证题的过程中，要注意防止“边边角”这种错误.但是直角三角形可以用“斜边、直角边”来判定全等.

(2)根据全等三角形的性质，它们的对应、对应角、对应线段(角平分线、中线、高)都对应相等.我们常用全等三角形来证明线段或角的相等，以及线段或角的和、差、倍、分等问题，还可以用来证明直线的垂直或平行问题.

(3)角平分线上的点到角的两边距离相等；到角的两边距离相等的点，在角的平分线上.

(4)三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫作三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等.

经典例题解析

【例3-1】如图3-1所示,已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:

(1)AP=AQ.

(2)AP⊥AQ.

分析要证明AP=AQ，可考虑用全等三角形对应边相等来证，即考虑它们分别在哪两个三角形内.可以看出它们分别在△AEQ和△ADP内,或在△ACQ和△PBA内,而前者只有一个直角相等，后者有两对边分别相等：CQ=AB，BP=AC.故只要判定两边所夹的角是否相等即可.

证明(1)因BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,故∠ACQ=90°-∠BAC=∠PBA.

在△ACQ与△PBA中,AC=PB,∠ACQ=∠PBA,CQ=BA,于是△ACQ≌△PBA,从而AQ=AP.

(2)由△ACQ≌△PBA,知∠CAQ=∠BPA,于是∠QAP=∠CAQ+∠DAP=∠BPA+∠DAP=90°,所以AP⊥AQ.

评注证明线段互相垂直问题往往可转化为计算角的度数或证明角相等问题，从而利用全等三角形对应角相等证明.

【例3-2】如图3-2所示,AE是△ABC中∠A外角的平分线，E为AE上不同于A的一点，则下列关系成立的是()。

(A)AB+ACBE+EC

(B)AB+ACBE+EC

(C)AB+AC=BE+EC

(D)不能确定

解如图3-3所示，在BA的延长线上截取AD=AC，连接DE.在△ADE与△ACE中,AD=AC,∠DAE=∠CAE,AE=AE,所以△ADE≌△ACE,于是ED=EC,从而AB+AC=AB+ADBE+ED=BE+EC.故选A.

评注当题目的条件中出现了角平分线时，可在这个角的两边截取相等的线段，利用角平分线是公共边来构造一对全等三角形，这是一种十分常见的辅助线.

【例3-3】如图3-4所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,与AC交于D,CE⊥BE,求证:CE=1

证明如图3-5所示,延长CE与BA交于F.因∠BAC=90°,CE⊥BE,故.∠FCA=90°-∠F=∠DBA.

在△FCA和△BDA中,∠FAC=∠DAB=90°,AC=AB,∠FCA=∠DBA,故△FCA≌△BDA,于是BD=CF.

在△BEF和△BEC中,∠FEB=∠CEB=90°,BE=BE,∠FBE=∠CBE,故△BEF≌△BEC,于是EC=EF,CF=2CE.

所以CE=1

评选(1)证明一条线段是另一条线段的两倍，或证明一条线段是另外两条线段的和，常用延长或截取的方法，将其转化为证明线段相等的问题来解决.

(2)当题目条件中出现了角平分线的垂线时，常将其延长，与角的两边相交，这样可以得到一对全等的直角三角形.

【例3-4】证明：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线.

求证：CD=

证明如图3-6所示,延长CD到E,使得DE=CD,连接BE.

在△ADC与△BDE中,AD=BD,∠ADC=∠BDE,DC=DE,故有△ADC≌△BDE.

于是有AC=BE,∠A=∠DBE,故AC∥BE.因∠ACB=90°,故∠EBC=90°.

在△ACB与△EBC中,AC=BE,∠ACB=∠EBC,BC=BC,故有△ACB≌△EBC,于是AB=CE=2CD,CD=

评选(1)遇到与三角形的中线有关的问题，将三角形的中线延长一倍，是一种常用的辅助线.其目的是得到一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.

(2)例3-4是平面几何的一个重要定理，今后可以直接引用此结论作为证题的根据.

【例3-5】如图3-7所示,OA=OA,OB