初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 1 讲 三角形的概念.docxVIP

第1讲三角形的概念

知识方法

由三条不在同一直线上的首尾相连的线段组成的图形叫作三角形.

(1)三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

(2)三角形三角之间的关系：三角形的内角和为180°；三角形的一个外角等于它的两个不相邻的内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.

(3)三角形中的主要线段：三角形中的主要线段有中线、角平分线和高.

经典例题解析

【例1-1】等腰三角形腰上的中线把它的周长分为12cm和21cm两部分，那么底边的长为cm.

解设△ABC中AB=AC,BM是AC边上的中线.设BC=x,AM=MC=y,则AB=2y.

依题意有如下两种情况：

1AM+AB=12,BC+CM=21,即

解得x=17,y=4,这时有AB=AC=8,BC=17,因AB+AC=1617,即AB+ACBC,此时AB、AC、BC三边不能构成三角形，故舍去这组解

2AM+AB=21,BC+CM=12,即

解得x=5,y=7,这时有AB=AC=14,BC=5,此时AB、AC、BC三边能够构成三角形.所以底边的长为

【例1-2】周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?

解设三角形三边长为a、b、c,且abc,则有

a+b+c=30,

故2ca+b+c=30,c15;又3ca+b+c=30,c10.

即10c15.

当c=14时,有5解:b=13,a=3;b=12,a=4;b=11,a=5;b=10,a=6;b=9,a=7.

当c=13时,有4解:b=12,a=5;b=11,a=6;b=10,a=7;b=9,a=8.

当c=12时,有2解:b=11,a=7;b=10,a=8.

当c=11时,有1解:b=10,a=9.

故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个.

【例1-3】如图1-1所示,在△ABC中取一点P,使CP=CB,求证:ABAP.

证明如图1-2所示,延长CP交AB于Q,AB+CB=AQ+QB+CBAQ+CQ=AQ+PQ+CPAP+CP.

因CP=CB,故ABAP.

【例1-4】若不等边三角形ABC的两条高的长分别为4和12，且第三条高的长也为整数，则这条高的长为().

(A)5(B)6(C)7(D)8

解设△ABC的面积为S,三边边长为a、b、c,三边所对应的高是h。、h。、h。.且h?=4,hb

S=12a

所以a=

因为a-bca+b,

解得3h。6.又△ABC是不等边三角形,ha≠hc,

评注涉及三角形的高的问题，常常与面积有关.

【例1-5】如图1-3所示是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=.

解法1如图1-4(a)所示,由三角形外角的性质,有∠2=∠B+∠D,∠1=∠C+∠E,

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°.

解法2如图1-4(b)所示,连接CD,显然有∠1+∠2=∠B+∠E(为什么?),于是

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=180°.

猝涯图1-4(b)中的∠1+∠2=∠B+∠E是一个用途很广的重要的结论.

【例1-6】如图1-5所示,已知在△ABC中,三条内角平分线AD、BE、CF相交于I,IH⊥BC,求证:∠BID=∠HIC.

证明设∠CAB=2α,∠ABC=2β,∠BCA=2γ,则α+β+γ=90°,∠BID=α+β,∠HIC=90°—γ=α+β.所以∠BID=∠HIC.

【例1-7】已知三角形的一边是另一边的两倍.求证：它的最小边长在它的周长16?14

证明设△ABC的三边为a、b、c,且a=2c,则ba-c=c,故c边是最短边.

因为a+b+c2c+c+c=4c,所以c

又ba+c,故b3c,从而a+b+c2c+3c+c=6c,所以c

【例1-8】如图1-6所示，在△ABC内部有m个点，在这些点之间及这些点与A、B、C三点之间连接一些线段，这些线段在三角形内部没有这m个点以外的公共点，并恰将△ABC分成的小区域全部都是小三角形，请你证明：

(1)分成的小三角形区域的总个数必为奇数.

(2)位于△ABC内部的所连接线段的条数是3的倍数.

证明(1)设分成的小三角形区域的总个数为k，则可用两种方法来计算k个三角形的内角和S.

方法一:S=k×180°.

方法二：按“点”来计算，有①三角形内的m个点，每点对应一个周角，共m×360°;②三角形的三个内角和为180