医用高等数学 第2章微分学.pptVIP

练习设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①本节内容总结一、函数四则运算求导法则(C为常数)二、反函数求导法则本节内容总结三、复合函数求导法则搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.四、隐函数的求导法则令y=y(x),将方程F(x,y)=0两边对x求导，解出本节内容总结五、取对数求导法求幂指型函数的导数或由若干个函数的积、商及方根组成的函数六、由参数方程确定的函数的求导法本节内容总结七、高阶导数逐次求导、数学归纳法

特别的，注意隐函数高阶导、参数方程函数高阶导数的方法本节内容总结导数公式汇总本节作业求导运算法则：练习题2.2:1，2复习题2:2隐函数求导、对数求导法、参数方程求导、高阶导数：练习题2.2:3,4,6复习题2:4(2),(3)5,6函数的微分(之一)第三节三、微分公式与微分运算法则四、微分的应用一、微分的概念二、微分的几何意义边长由一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到其的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即在点可微,注：(1)dy是关于增量△x的线性函数：(2)A是与△x无关的常数，但与f(x)和x0有关；例如：设函数y=x3在x0处的改变量为△x时，求函数(4)当A≠0时，dy与△y是等价无穷小；在x0处的微分dy.解：是比△x高阶的无穷小；定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则说明:从而导数也叫作微商(即自变量的微分dx就是自变量的增量△x).例1.求在时的微分.例2.求y=x3在x=2处的微分,处的微分.解:故解:以及当?x=0.1时在x=2二、微分的几何意义微分的几何意义是：三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式（P46）2.四则运算微分法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)均可导,的微分为3.复合函数的微分法则则一阶微分形式不变性:无论u是自变量还是中间变量,微分形式保持不变.例3.解：例4.已知求解:例5.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例6.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.数学中的反问题往往出现多值性.注意:四、微分在近似值计算中的应用当很小时,得近似等式:……(1)……(2)……(3)1.近似计算的近似值.解:设例7.求很小)证明:令代入(4)式得常用近似公式:特别当很小时,在(3)式……(4)的近似值.解:例8.计算内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用:近似计算练习练习题2.3(P47):1,21.已知求解：因为所以备用题(作业)已知求解:方程两边求微分,得2.3.第四节函数的导数与微分的应用三、微分公式与微分运算法则四、函数的单调性、凹凸性、极值与最值一、利用微分计算近似值及误差估计二、洛必达法则当很小时,得近似等式:……(1)……(2)……(3)一、近似计算与误差估计（一）近似计算三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为曲线在点处切线方程:法线方程:例5.问曲线,哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程和法线方程.解:令则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即法线方程分别为例6.求函数在x=0处的导数.解:不存在,定理2.函数在点