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专题18抛物线中的参数及范围问题
限时:120分钟满分:150分
一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知为抛物线上一点,为焦点,过作的准线的垂线,垂足为,若的周长不小于30,则点的纵坐标的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【解析】如图,设点的坐标为,准线与轴的交点为A,
则,
所以的周长为.得,令,则,
有,即,解得(舍去)或,
所以,由解得.故选:A.
2.已知为抛物线的焦点,过的直线与抛物线交于,两点,若在轴负半轴上存在一点,使得为锐角,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【解析】由题意知,设直线的方程为,由,
得.设,,
则,,所以,.
因为为锐角,所以恒成立,即,
整理得,所以,
而,所以对于任意恒成立,所以.
由,解得,所以的取值范围为.故选:A.
3.若抛物线上存在不同的两点关于直线对称,则实数p的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【解析】设抛物线上存在不同的两点关于直线对称,
设所在的直线方程为,
联立方程组,整理得,其中,
设,则,则,
又因为的中点在直线,可得,即,
将代入,可得,解得,
所以实数的取值范围为.故选:B.
4.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,斜率为的直线与的两个交点为,.若,则的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【解析】双曲线的标准方程是,其右焦点是.所以,,抛物线是,
设直线方程为,,由消去,化简整理得,因此,由得,,.
因为,所以,即.,即,
解得.代入得到,,或.故选:A.
5.在平面直角坐标系中,若抛物线的准线与圆相切于点,直线与抛物线切于点,点在圆上,则的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
【解析】抛物线的准线方程为,
??
圆的圆心为,半径为,直线与圆相切,则,
因为,解得,所以,抛物线的方程为,
故抛物线的准线与圆相切于点,
若直线与轴重合,则直线与抛物线不相切,不合乎题意,
设直线的方程为,联立可得,
则,解得,不妨设点在第一象限,则,则有,解得,
此时,即点,所以,,
因为点在圆上,设点,则,
所以,.故选:C.
6.已知抛物线的焦点为,过的直线交于点,分别在点处作的两条切线,两条切线交于点,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【解析】显然直线的斜率存在,因此设直线的方程为,,
由得,因此,故.
因为,所以过与相切的直线方程分别为:、,
因此由得,即,
所以
.
因为,所以,因此,
所以的取值范围是.故选:C.
7.已知点在抛物线上,且抛物线上存在不同的两点,,使得直线,的斜率,满足,若线段的中点为,为坐标原点,则直线的斜率的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【解析】因为点在抛物线上,
所以,所以,所以抛物线方程为.
设,则,直线的方程为,
结合抛物线的方程,得,由,得,
设,,则,即,,
同理可得,,,于是,因此.
因为且,所以且,故且,
所以直线的斜率的取值范围是.故选:C
8.已如抛物线的焦点是,点是其准线上一个动点,其中.过点且斜率为的直线与抛物线交于A,两点,过点的直线交抛物线于,两点.若,则直线的斜率的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
【解析】由点在准线上知,,,所以抛物线的方程为.
依题意可设直线的方程为,设直线的方程为,斜率,,.由消去,得,
所以由知,判别式,,,
则.由,消去,得,
所以判别式,,,
所以因为,所以,
结合点A,在抛物线上,则,作差得,
点,两点在抛物线上,则,作差得,
所以,即,得,
即,所以,
即,因为,即,所以,即,
所以或.故选:
二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.已知点,抛物线的焦点为F,过F的直线l交C于P,Q两点,则(????)
A.的最大值为
B.的面积最小值为2
C.当取到最大值时,直线AP与C相切
D.当取到最大值时,
【解析】抛物线的焦点,准线方程为,设,
显然直线不垂直于轴,设直线的方程为:,
由消去x得:,则,
??
对于A,显然,,
当且仅当时取等号,A正确;
对于B,的面积,
当且仅当时取等号,B错误;
对于C,由选项A知,当最大时,点,此时直线方程为,
由消去x得:,,直线AP与C相切,C正确;
对于D,由选项C知,当最大时,轴,显然,
即,,D错误.
故选:AC
10.已知是抛物线内一动点,直线过点且与抛物线相交于两点,则下列说法正确的是(????)
A.时,的最小值为
B.的取值范围是
C.当点是弦的中点时,直线的斜率为
D.当点是弦的中点时,轴上存在一定点,都有
【解析】抛物线的焦点,准线方程为,
对于A,当时,点与重合
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