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专题19抛物线中的定点、定值、定直线问题
限时:120分钟满分:150分
一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知点,过点作直线l与抛物线相交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为,,则(????)
A. B. C.2 D.无法确定
2.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上(异于顶点),(点为坐标原点),过点作直线的垂线与轴交于点,则(????)
A.6 B. C.4 D.
3.过抛物线的焦点的直线l交抛物线于两点,若点P关于x轴对称的点为M,则直线QM的方程可能为???
A. B.
C. D.
4.已知直线l与抛物线交于不同的两点A,B,O为坐标原点,若直线的斜率之积为,则直线l恒过定点(????)
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为,过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点,为轴上一点,满足,则(????)
A.为定值 B.为定值
C.不是定值,最大值为 D.不是定值,最小值为
6.已知点,设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、,若轴是的角平分线,则直线一定过点(????)
A. B. C. D.
7.已知、、是抛物线上三个不同的点,且抛物线的焦点是的重心,若直线、、的斜率存在且分别为、、,则(????)
A.3 B. C.1 D.0
8.已知抛物线的方程为,过其焦点F的直线交此抛物线于M.N两点,交y轴于点E,若,,则(????)
A. B. C.1 D.
二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.如图,过点作两条直线和:()分别交抛物线于,和,(其中,位于轴上方),直线,交于点.则下列说法正确的(????)
A.,两点的纵坐标之积为
B.点在定直线上
C.点与抛物线上各点的连线中,最短
D.无论旋转到什么位置,始终有
10.已知抛物线,过其准线上的点作的两条切线,切点分别为A、B,下列说法正确的是(????)
A. B.当时,
C.当时,直线AB的斜率为2 D.直线AB过定点
11.已知抛物线的焦点为,准线为,、是上异于点的两点(为坐标原点)则下列说法正确的是(????)
A.若、、三点共线,则的最小值为
B.若,则的面积为
C.若,则直线过定点
D.若,过的中点作于点,则的最小值为
12.已知抛物线,为轴正半轴上一点,则(????)
A.存在点,使得过点任意作弦,总有为定值
B.不存在点,使得过点任意作弦,有为定值
C.存在点,使得过点任意作弦,总有为定值
D.不存在点,使得过点任意作弦,有为定值
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线必过的定点坐标为.
14.已知抛物线和直线,点为直线上的动点(不在轴上),以点为圆心且过原点的圆与直线交于,两点,若直线,与的另一个交点分别为,,记直线,的斜率分别为,,则.
15.已知AB,CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦,则的值为.
16.经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于,两点,抛物线在,两点处的切线相交于点,则点必定在直线上.(写出此直线的方程)
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知抛物线,,是C上两个不同的点.
(1)求证:直线与C相切;
(2)若O为坐标原点,,C在A,B处的切线交于点P,证明:点P在定直线上.
18.设抛物线的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与E交于A,B两点,且.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设为E上一点,E在P处的切线与x轴交于Q,过Q的直线与E交于M,N两点,直线PM和PN的斜率分别为和.求证:为定值.
19.已知过点的直线交抛物线于A,B两点,且(点O为坐标原点),M,N,P是抛物线上横坐标不同的三点,直线MP过定点,直线NP过定点.
(1)求该抛物线的标准方程;
(2)证明:直线MN过定点.
20.已知抛物线的焦点为,准线为,过点且倾斜角为的直线交抛物线于点(M在第一象限),,垂足为,直线交轴于点,
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切,切点为,平行于的直线交抛物线于两点,且,点到直线与到直线的距离之比是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
21.已知动圆与圆外切,与轴相切,记圆心的轨迹为曲线,.
(1)求的方程;
(2)若斜率为4的直线交于、两点,直线、分别交曲线于另一点、,证明:直线过定点.
22.已知抛物线E:(p0),过点的两条直线l1,l2分别交E于AB两点和C,D两点.当l1的斜率为时,
(1)求E的标准方程:
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