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姜启源数学建模3.2消费者的选择

姜启源数学建模3.2消费者的选择

题目：基于NOTEBOOK的消费者的选择的建模与分析

一、问题思维视图：

1.系统要素:商品的价格、购买商品的数量、消费者的支出、商品的效用值（消费者

的满意度）2．要素关联：

i.消费者的支出=

*购买商品的数量ii.购买商品的数量

32种商品时，每种商品各买

多少可使商品的效用值最大？

二、数学刻画：1．效用函数

当消费者购得数量分别为x1,x2的甲乙两种商品时，得到的效用可用函数u(x1,x2)

度量，称为效用函数

利用等高线概念在x1,x2平面上画出函数u的等值线,u(x1,x2)=c称为等效用

线――一族单调减、下凸、互不相交的曲线.

等效用线就是“实物交换模型”中的无差别曲线，效用就是那里的满意度

symsxy1y2y3y1=1./x;y2=3./x;

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y3=6./x;

ezplot(1./x,[0,10])holdon

ezplot(2./x,[0,10])holdon

ezplot(3./x,[0,10])

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效用最大化模型

购得甲乙两种商品数量分别为x1,x2，甲乙两种商品的单价分别为p1,p2,y是消费

者准备付出的钱，在条件p1*x1+p2*x2=y下使效用函数u(x1,x2)最大.

u(x1,x2)=c单调减、下凸、互不相交，

AB必与一条等效用线相切于Q点(消费点)。Q(x1,x2)唯一.

symsxy1y2y3y4y1=1./x;y2=2./x;y3=3./x;

y4=(-1/3)*x-2

ezplot(1./x,[0,10])holdon

ezplot(2./x,[0,10])holdon

ezplot(3./x,[0,10])holdon

ezplot(-0.5*x+2,[0,10])

y4=

-x/3-2

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三、模型推演

maxu(x1,x2)p1*x1+p2*x2=y

引入拉格朗日乘子构造函数

L(x1,x2,)u(x1,x2)(yp1x1p2x2)

LL

0,0x1x2

dx2uu

/

推出等效用线u(x1,x2)=c的斜率dx1x1x2

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消费线AB的斜率p1/p2u,u

边际效用x1x2

当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大等效用线u(x`1,x2)=c所

确定的函数