万有引力理论的成就 教案学案2.docVIP

第四节万有引力理论的成就

探索:自学尝试解决下列问题

为什么说科学真是迷人？

万有引力的发现,给天文学的研究开辟了一条康庄大道。可以应用万有引力定律“称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体,这些累累硕果体现了万有引力定律的巨大的理论价值。

卡文迪许是怎样测量引力常量G的？

卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量。

研究天体运动都可以运用哪些公式和规律？

万有引力定律:

圆周运动规律:

万有引力提供圆周运动的向心力:

万有引力定律都有哪些作用？

万有引力定律的成就在于它告诉了我们一切物体间都存在作用力,并把这种作用力进行了量化。同时它可用来研究天体运动规律、发现未知天体。

要点归纳

研究天体运动的理论依据

我们现在对天体运动的计算只能是近似运算,所以我们把天体的运动看做是由万有引力提供向心力的匀速圆周运动。

相关公式

研究天体运动:

研究天体表面物体重力:

卫星作匀速圆周运动各物理量随轨道半径的变化情况

由
得:
即随着轨道半径的增加,作匀速圆周运动的卫星的向心力和向心加速度都减小。

由
得:
即随着轨道半径的增加,作匀速圆周运动的卫星的线速度减小。

由
得：
即随着轨道半径的增加,作匀速圆周运动的卫星的角速度减小。

由
得：
随着轨道半径的增加,作匀速圆周运动的卫星的周期增大。

估算天体的质量

当做圆周运动的天体绕中心天体运行时,只需知道其轨道半径和运行周期,即可求得该中心天体的质量。

由
得:
其中M即为中心天体的质量。

估算天体的密度

由
代入
和
可得
其中R为中心天体的半径。当匀速圆周运动的天体绕中心天体表面运行时,
,则

。

说明：（1）在求天体质量时,只能求出中心天体的质量,不能求出环绕天体的质量。

（2）应掌握地球的公转周期、地球的自转周期、月球的周期等,在估算天体质量时,应作为已知条件。

6.发现新天体

凭借着万有引力定律,通过计算与观察,在笔尖下发现了新天体,这充分的显示了科学理论的威力。在浩瀚的宇宙中,还有许多的未知领域,同学们应该刻苦学习理论知识,掌握一些科学的研究方法,为了人类的发展,去发现更多的奥秘。

例题探究与解答

利用行星估算中心天体的质量

例1为了研究太阳演化进程,需知道目前太阳的质量M。已知地球半径
,地球质量
,日地中心距离
,地球表面处的重力加速度
,1年约为
,试估算目前太阳的质量M（保留一位有效数字,引力常量未知）

分析:根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动的向心力列出相关方程,再根据地球表面重力等于万有引力列出方程联立求解。

解答：设T为地球绕太阳运动的周期,则由万有引力定律和动力学知识得

对地球表面物体又有

两式联立得

代入数据得

说明:不能将地球质量和地球表面物体的质量混为一谈。在引力常量未知的情况下应能利用题目中的已知量来求得。

估算天体的密度

例2一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星,并进入靠近该行星表面的圆形轨道,宇航员进行预定的考察工作。宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程。

分析:本题不需要具体确定M和R,只需求出
即可,而该比值可用宇宙飞船绕行星运行的周期表达,周期可用表测出。

解答：使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动,设行星的质量为M,宇宙飞船质量为m,行星半径为r,测出飞船运行周期T

所以

又行星的体积

所以

即宇航员只需测出T就能求出行星的密度。

万有引力定律与角速度、周期等

例3如果到某一天,因某种原因地球自转加快,则地球上物体重量将发生怎样的变化？当角速度等于多少时,赤道上的物体重量为零？（
,
,
）。

分析：重力是万有引力的分力,地球上物体随地球自转作圆周运动的向心力由万有引力的分力提供,引力的另一分力为重力。在赤道上的物体万有引力、重力和向心力在一条直线上,结合其特点和题中条件可知重力为零时,万有引力充当向心力。

解答：由以上分析可知,地球自转加快,重力减小。

当重力为零时有

则

代入数值得

说明:在通常情况中,物体随地球自转所作的圆周运动所需向心力很小,故可在近似计算中认为万有引力等于重力。但若要考虑自转的影响时则不能近似处理。

合作求解

用火箭把宇航员送到月球上,如果他已知月球的半径,那么他用一个弹簧秤和一个已知质量的砝码,能否测出月球的质量？应该怎样测定？

分析:重力和万有引力大小相等,这是在处理天体运动问题中常用的。