选择题题库40道：计算机科学与技术-数学-概率论与数理统计_大数定律与中心极限定理：概率论的基石.docxVIP

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下列哪些定理可以用来证明，当一个试验重复的次数无限增多时，试验结果的平均值将趋近于期望值？

A．线性代数定理

B．中心极限定理

C．大数定律

D．随机过程理论

答案：C

解析：大数定律陈述了一个随机变量序列的算术平均值，随着试验次数的增加，将趋近于期望值。

在中心极限定理中，假设有一个随机变量序列，每个随机变量都有相同的期望与方差，且相互独立。当样本数量增大时，这些随机变量的平均值的分布会趋近于什么？

A．均匀分布

B．指数分布

C．正态分布

D．二项分布

答案：C

解析：中心极限定理指出，独立同分布的随机变量序列的平均值将趋近于正态分布。

考虑贝努利试验中抛硬币的场景，硬币正面向上的概率为1/2。根据大数定律，若重复试验1000次，正面向上出现次数最有可能接近下列哪个数字？

A．400

B．500

C．600

D．700

答案：B

解析：在大量的独立重复试验中，事件发生的频率趋近于其期望概率，即1000次试验中，正面向上的期望次数为500次。

中心极限定理的适用条件之一是随机变量的方差必须为有限。若一个随机序列中的随机变量方差都为无穷，中心极限定理是否仍能应用？

A．可以，但需要额外的数学工具

B．可以，但需要修改定理的条件

C．不可以，因为方差无穷破坏了定理的基本假设

D．可以，方差无穷不影响中心极限定理的适用性

答案：C

解析：中心极限定理的一个关键假设是序列中的随机变量具有有限的期望值和方差。

在一个随机变量序列中，每个随机变量的期望值为μ，方差为σ^2。如果序列中的随机变量相互独立，那么这个序列的大小n的平均值的方差是多少？

A．μ/n

B．σ/n

C．σ^2/n

D．μσ/n

答案：C

解析：独立随机变量序列的平均值的方差是每个随机变量方差的n分之一。

大数定律和中心极限定理在机器学习中的重要性不包括下列哪一项？

A．用来理解模型训练过程中的误差的分布

B．使得我们可以用小样本估计大样本的统计属性

C．提供了在数据集中使用均值和方差作为统计估计的基础

D．直接用于算法的优化过程

答案：D

解析：大数定律与中心极限定理并不直接用于算法优化，它们更多的是提供统计估计和推理的基础。

以下哪种情况，中心极限定理能有效应用？

A．随机变量序列中，每个变量的方差不同，但期望值相同

B．随机变量序列中，每个变量的期望值不同，但方差相同

C．随机变量序列中，每个变量独立同分布，方差有限

D．随机变量序列中，所有变量相互依赖

答案：C

解析：中心极限定理要求随机变量独立同分布且方差有限。

考虑一个随机过程，其中随机变量独立且分布相同，但分布未知。根据中心极限定理，我们能否预测这个随机过程的样本平均值的分布？

A．不能，因为分布未知

B．可以，但需要先估计出分布

C．可以，且其分布渐近于正态分布

D．只能预测如果分布是连续的

答案：C

解析：即使单个随机变量的分布未知，只要它们独立同分布且具有有限的方差，中心极限定理保证样本平均值的分布渐近于正态分布。

下列哪个定理描述了当试验次数无限大时，随机事件发生的频率会趋近于其理论概率？

A．独立同分布定理

B．泊松定理

C．大数定律

D．随机游走定理

答案：C

解析：大数定律描述了频率趋近于理论概率的极限情况。

若一个随机事件的概率为p，那么根据大数定律，多次独立重复该试验后，事件发生的频率f：

A．必定等于p

B．必定小于p

C．必定大于p

D．趋近于p

答案：D

解析：在大量独立重复试验中，事件频率f将趋近于事件的概率p。

在使用中心极限定理时，我们假设随机变量序列满足哪些条件？

A．各个变量相互独立，均值和方差不需要相同

B．各个变量相互独立，均值和方差相同

C．各个变量相互依赖，均值和方差相同

D．各个变量相互依赖，均值和方差不需要相同

答案：B

解析：中心极限定理要求随机变量序列中的变量相互独立且分布相同，即它们具有相同的均值和方差。

下列哪种情况最不可能应用大数定律？

A．在多次独立重复试验中观察一个事件发生的频率

B．在有限次试验中精确计算一个事件发生的概率

C．在大量样本数据中估计一个随机变量的期望值

D．在长期观察中评估一个随机事件的平均发生率

答案：B

解析：大数定律描述的是频率在大量试验中趋近于概率，而不是在有限试验中计算概率的准确性。

中心极限定理的含义是，当抽取样本的大小n足够大时，样本平均值的分布将趋近于哪种分布？

A．均匀分布

B．高斯分布

C．泊松分布

D．γ-分布

答案：B

解析：中心极限定理中的“中心”指的是正态分布，也称为高斯分布。

下列关于大数定律和中心极限定理的陈述哪个是正确的？

A．大数定律适用于有限试验，