人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 第5节空间向量及其运算.ppt

第5节空间向量及其运算

课标解读1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两点间的距离公式.2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.5.理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.

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知识梳理1.空间向量的有关概念抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向名称定义零向量和相同的向量称为零向量,记作0?单位向量模等于的向量称为单位向量?相等向量大小、方向的向量称为相等向量?相反向量方向、大小的向量称为相反向量?平行向量方向相同或者相反的两个非零向量互相,此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线或重合.通常规定零向量与任意向量平行?共面向量一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移后,都能在内,则称这些向量共面?始点终点1相等相同相反相等平行平行同一平面

微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.

2.向量中的有关定理(1)共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是存在的实数对(x,y),使.?(2)空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,c,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=.?特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0?x=y=z=0.唯一c=xa+yb不共面xa+yb+zc

(3)相关概念①线性组合:表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的____________或.?②基底:空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.③基向量:基底{a,b,c}中a,b,c都称为基向量.④分解式:如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.线性组合线性表达式

微点拨1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量基本定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.

3.空间向量的数量积(1)空间向量的夹角非零∠AOBa,b[0,π]互相垂直

(2)空间向量数量积的定义:两个非零向量a,b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cosa,b.(3)空间向量数量积的性质:①a⊥b?a·b=0;②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤|a|·|b|;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交换律);⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)c=a(b·c)不一定成立.

4.空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有以下结论:(1)a+b=;?(2)若u,v是两个实数,ua+vb=;?(3)a·b=;?(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2)x1x2+y1y2+z1z2

5.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直假设空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:(1)当a≠0时,a∥b?b=λa?(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)?当a的每一个坐标分量都不为零时,有a∥b?.?(2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决

6.空间向量坐标的应用设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则

常用结论1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线:

2.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面:

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.空间中任意两