人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 素能培优(九)球与几何体的切、接问题.ppt

素能培优(九)球与几何体的切、接问题

球的切、接问题是历年高考的热点内容,经常以客观题形式出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题,考查球的体积与表面积,其关键点是确定球心.

考点一外接球(多考向探究预测)考向1定义法例1(2022·新高考Ⅱ,7)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.100π B.128π C.144π D.192πA解析设外接球的半径为R,由题意得,上底面所在平面截球所得圆的半径是3,下底面所在平面截球所得圆的半径是4,在轴截面中,设球心到上、下底

变式探究289π解析如图,在正三棱锥S-ABC中,△ABC是正三角形,点M是△ABC的中心,则此正三棱锥外接球的球心位于高SM所在的直线上,设为点O,设球的半径

[对点训练1]如图所示,已知一个圆台的外接球是球O,圆台的上、下底面的半径分别为3和4,球的体积为,则该圆台的侧面积为()A.60π B.75πC.35π D.πD

解析设球的半径为R,则,所以R=5.作圆台的轴截面ABCD,如图所示.设圆台的上、下底面圆心分别为F,E,则E,F分别为AB,CD的中点.连接OE,OF,OA,OB,OC,OD,则OA=OB=OC=OD=5,所以OE⊥AB,OF⊥CD,所以因为OE=DF,OA=DO,AE=OF,所以Rt△OAE≌Rt△DOF,所以∠OAE=∠DOF,所以∠DOF+∠AOE=∠OAE+∠AOE=90°,又易知E,O,F三点共线,所以∠AOD=90°,

考向2补形法——存在侧棱与底面垂直例2(2023·全国乙,文16)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=.?2

[对点训练2](2024·湘豫名校第一次联考)已知三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=,AC=6,∠ABC=120°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.?60π解析由题意,将三棱锥P-ABC补成直三棱柱TPS-ABC,则该直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上.设△ABC外接圆的半径为r,三棱锥P-ABC外接球的半径为R.因为PB⊥平面ABC,AC=6,∠ABC=120°,由正弦定理,得所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4πR2=60π.

考向3补形法——对棱相等例3(2024·河南开封模拟)已知四面体ABCD中,AB=CDC

解析设四面体ABCD的外接球的半径为R.因为四面体的对棱相等,所以可以把它补成一个长方体,把四面体的棱看作这个长方体的面对角线.设这个长方体的长、宽、高分别为a,b,c,如图所示.

[对点训练3]已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为()A

考向4截面法例4(2020·全国Ⅰ,理10)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64π B.48π C.36π D.32πA

A解析如图,在三棱锥P-ABC中,AB2+PA2=20=PB2,则PA⊥AB,同理PA⊥AC,而AB∩AC=A,AB,AC?平面ABC,因此PA⊥平面ABC.在等腰三角形ABC中,

因为OO1∥PA,取PA的中点D,连接OD,则有OD⊥PA,又O1A?平面ABC,即O1A⊥PA,从而O1A∥OD,四边形ODAO1为平行四边形,OO1=AD=1,又OO1⊥O1A,设球O的半径是R,则有R2=OA2=O1A2+O1O2

考点二内切球例5(1)(2024·浙江慈溪中学模拟)在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,则其内切球的表面积为()C解析因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥BD,AB⊥BC,AB⊥CD,又BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC.设三棱锥A-BCD的内切球的球心为O,半径为r,则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD=

(2)(2024·湖南郴州模拟)已知三棱锥P-ABC的棱长均为4,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切,则球O2的表面积为.?解析如图所示,在三棱锥P-ABC中,取BC的中点D,连接AD,PD.过点P作PO垂直AD,点O是垂足.则两个球心O1,O2均在