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益阳市2025届高三9月教学质量检测

数学

注意事项：

1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，19小题，满分150分。考议时量120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置。请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

试题卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，，.则是

A. B. C. D.

2.已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线

3.已知等比数列中，，，则

A.26 B.32 C.512 D.1024

4.已知，则

A. B.0 C. D.

5.已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为

A. B. C. D.

6.在平行四边形中，，，若，则

A. B. C. D.1

7.已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是

A.当时，是直角三角形 B.当时，是等腰三角形

C.存在四边形是菱形 D.存在四边形是矩形

8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是

A.函数有两个零点 B.当时，

C.的解集是 D.，都有

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。

9.已知函数，则下列结论成立的是

A.的最小正周期为 B.曲线关于直线对称

C.点是曲线的对称中心 D.在上单调递增

10.已知函数，对于任意实数，，下列结论成立的有

A.

B.函数在定义域上单调递增

C.曲线在点处的切线方程是

D.若，则

11.在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是

A.若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段

B.不存在点，便得平面

C.三棱锥的最大体积为

D.若且与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知，则________

13.在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概宰为

14.已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定.

（1）若，则________；

（2）若数列是等差数列，则数列的前50项之和为________

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分13分）

已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，则面积为，求的值.

16.（本小题满分15分）

某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.

满意

不满意

总计

男游客

35

女游客

15

合计

100

（1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?

（2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

17.（本小题满分15分）

如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

18.（本小题满分17分）

已知两点，及一动点，直线，的斜率满足，动点的轨迹记为.过点的直线与交于，两点，直线，交于点.

（1）求的方程；

（2）求的面积的最大值；

（3）求点的轨迹方程.

19.（本小题满分17分）

若函数.

（1）若，且曲线的切线过点，求直线的方程；

（2）证明：若，则；

（3）若恒成立，求的取值范围.

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数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D2.B3.D4.D5.A6.В7.C8.C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求