初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 20 讲待定系数法.docxVIP

第20讲待定系数法

知识方法

在解答一些与多项式相关的问题时，可先设出某些尚待确定的系数，然后根据已知条件来确定这些系数的值，从而解决问题，这样的方法称为待定系数法.

确定待定系数的办法因题而异，其中使用得最多的是恒等式的概念和多项式的恒等定理：即如果两个化简后的多项式恒等，那么它们对应的同次项的系数分别相等.

经典例题解析

【例20-1】如果2x2-3x-1

解法1由已知得

2

=

=

根据恒等式的性质，得

a=2,

所以a

解法2由已知得

2

根据恒等式的意义，当x取0、1、2时，等式仍然成立，

所以-1=a-

故a

例20-1解法1是根据恒等式的性质，比较等式两边的同次项系数，得到关于待定系数的方程组，从而求出未知系数的值.因此，这种方法又叫比较系数法.

例20-1解法2是根据恒等式的意义，对a赋以不同的值得到关于未知系数的方程组，从而求出未知系数的值，这种方法又叫作赋值法.

【例20-2】设f(x)为x的多项式,当x=a+1时,f(x)的值是fa+

解设fa

Aa+

令a=—1，代入式①中即得C=8.再将C=8代入式①中又得

Aa+

A(a+1)+B=2a-7.②

又令a=—1,代入式②中即得B=—9.最后令a=0以及B=—9,C=8代入式①中得A=2,于是fa+1

【例20-3】已知2x3-3x2+6x-1x2+

解通分，并比较等式两边的分子可得

25x

即2x3-3x2+6x-1=(A+C)x3+(B+D)x2+(3A+C)x+3B+D.

于是A+C=2,B+

【例20-4】多项式x2+axy+by2-5

分析题目条件中给出了一个二次多项式及一个一次因式，我们需要设出另一个一次因式.观察已知二次式的二次项是x2、axy、by2,常数项是6，已知一次因式的一次项是x、y，常数项是-2，所以另一个一次因式可以设为x+by-3.

解由已知，可设另一个因式为x+by-3，则

x

=(x+y-2)(x+by-3)

=

比较系数，得b+1=a

所以a+b=--1-2=-3.

辩遥关于x、y的一次式一般形式为Ax+By+C，其中含有三个待定系数，当题设条件不能经观察确定A、B、C中某几个数值时，就要设成一般式.如果例20-4中的另一个一次因式设成x+my+n,那么

原式=(x+y-2)(x+my+n)

=x2+

比较这两种设法，前者只需解一个二元一次方程组，而后者则要解一个四元一次(五个方程)的方程组，大大增加了工作量.因此，应用待定系数法解题时，要根据题目的要求，恰当地设定未知系数.

【例20-5】当p、m为何值时,多项式x3+px-2能被

解设x3+

x

比较两边同次项系数，得a=2,

于是,当p=-5,m=-2时,多项式x3+px-2能被

【例20-6】已知多项式ax3+bx2+cx+d能被x2+p

分析因为x2+p|ax3+bx2+cx+d,所以存在商式q(x)，使ax3+bx2+cx+d

解设商式为ax+m,则

ax

即ax

比较同次项系数，得

m=

将式①代入式③，得

bp=d.④

由式②得p=ca.代入④得c

【例20-7】如果(x-a)(x-4)-1能够分解成两个二项式x+b和x+c的乘积(b、c为整数)，则a应是多少?

纷折运用多项式恒等式知识寻求a、b、c的关系，再从b、c是整数入手，适当变形，求出b、c进而求得a.

解根据题意，得x2-

①b+c

由式①×4+式②,得bc+4(b+c)=—17,

即bc+4(b+c)+16=--1,(b+4)(c+4)=--1.

又b、c是整数，则b+4=

得b=-3,

代入式①,得a=4.

【例20-8】k为何值时,多项式x2-2

解设x2-2xy+ky2+3x-5y+2=(x+ay+b)(x+cy+d),则

(x+-ay

所以

a+

由式③、式⑤，得b=2,d=1

a+2c=-5,⑥

或

2