初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 17 讲 平行四边形.docxVIP

第17讲平行四边形

知识方法

四边形的问题主要涉及在一定条件下求边长、角度、面积以及证明这些量之间的等与不等的关系，四边形的问题一般可以化为三角形问题来解决.

平行四边形是一种特殊的四边形：两组对边平行的四边形叫作平行四边形.

平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分.

平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.

经典例题解析

【例17-1】下面有四个命题.

(1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.

(2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边.

(3)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

(4)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.

其中，正确的命题的个数是().

(A)1(B)2(C)3(D)4

解命题(1)是假命题.如图17-1(a)中的四边形ABCD,它满足命题的条件,∠A=∠C,AB=CD，但它不是平行四边形.

命题(2)是假命题.如图17-1(b)所示,延长等腰△ADE的底边ED至任意点O,以O为对角线的交点作平行四边形ABCE，这时四边形ABCD满足AD=BC且AO=OC，但它不是平行四边形.

命题(4)也是假命题,如图17-1(c)所示,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD,BD垂直平分AC，但四边形ABCD不是平行四边形.

下面证明命题(3)是真命题.如图17-1(d)所示,四边形ABCD中,∠BAD=∠DCB,且OB=OD,以O为中心,将△ABD逆时针旋转180°.

因为OB=OD,所以B与D重合,点A与射线OC上的点A(不是C)重合,则.∠BAD∠BCD(A在线段OC上,非点C),或.∠BAD∠BCD(A在线段OC的延长线上)，都与∠BAD=∠BAD=∠BCD矛盾,所以A即为C,即(

【例17-2】如图17-2所示，ABCD是平行四边形，以AC为边在两侧各作一个正三角形ACP、ACQ.试证:四边形BPDQ为平行四边形.

证明因△ACP与△ACQ都是正三角形,于是PA=AC=CQ=PC=AQ,故四边形PAQC为平行四边形.如图17-3所示,连接PQ交AC于O,则O点是AC的中点,也是PQ的中点.连接BD，因四边形ABCD是平行四边形，故BD与AC互相平分，即BD的中点也是O.

因为PO=QO,BO=DO,所以四边形BPDQ为平行四边形.

【例17-3】平行四边形相邻两边长分别为5m和6m，一条对角线长为8m，另一条对角线长为k,求

解我们先来证明下面的“平行四边形定理”：平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和.

如图17-4所示,四边形ABCD是平行四边形.作CE⊥AB于E,DF⊥AB,交BA延长线于F.显然△BCE≌△ADF,则BE=AF,CE=DF.

故BD2+

=

=

=

=

下面运用这个性质解答原题，得(k

【例17-4】如图17-5所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,点P在BC上,PE⊥BC交BA的延长线于E,交AC于F.

(1)求证:2AD=PE+PF.

(2)平移PE,使P点在BC的延长线上,PE交BA的延长线于E,交AC的延长线于F,写出AD、PE、PF满足的关系式，并证明你的结论.

解(1)如图17-6所示,延长AD至A,使.AD=AD,,连接AC,延长

因为在△ABC中,AB=AC,且AD⊥BC,所以AD平分BC,即BD=CD.

又Rt△ADC≌Rt△ADC,AC=AC,∠ACD=∠ACD,所以△CFF为等腰三角形,FP

又∠CAD=∠CAD=∠BAD,AC∥AB,所以四边形AAFE是平行四边形,所以AA

故2AD=PE+PF.

(2)AD、PE、PF满足关系式2AD=PE-PF.

如图17-7所示,延长AD到A使.AD=AD,连接AC并延长与EF相交于.F..则由(1)知PF=PF,且四边形AAFE是平行四边形,

【例17-5】如图17-8所示,在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F,使AE=CF,已知BC=2,求证

证明如图17-9所示，作平行四边形ABCH，在HC上截取HG=AE,，连接EG，显然四边形AEGH和BEGC也是平行四边形

在△EAF与△FCG中,AE=CF,∠EAF=∠FCG,AF=CG