苏教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第八章 概率 8.2.2 第2课时 离散型随机变量的方差与标准差.ppt

;内容索引;课标要求;基础落实?必备知识全过关;知识点离散型随机变量的方差与标准差

1.离散型随机变量的方差、标准差

(1)若离散型随机变量X的概率分布如表所示,;(2)方差也可用公式计算.

(3)随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差,X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差,即σ=.?;名师点睛

(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.

(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度.

(3)D(X)越小,随机变量X的取值越稳定,波动越小.;2.几个常见的结论

设X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,则

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X).

(3)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).;过关自诊

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.()

(2)若a是常数,则D(a)=0.()

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()

(4)当样本平均值相差不大时,可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度.();3.两点分布的方差是定值吗?;重难探究?能力素养全提升;;规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法:

(1)已知分布列(非两点分布):直接利用定义求解,先求均值,再求方差.

(2)已知分布列是两点分布:直接套用公式D(X)=p(1-p)求解.

(3)未知分布列型:求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列,然后转化成(1)中的情况.;变式训练1

袋中有大小相同的四个球,编号分别为1,2,3,4,每次从袋中任取一个球,记下其编号.若所取球的编号为偶数,则把该球编号改为3后放回袋中继续取球;若所取球的编号为奇数,则停止取球.

(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;

(2)若第一次取到偶数,记第二次和第一次取球的编号之和为X,求X的分布列和方差.;(2)若第一次取到2,则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球;

若第一次取到4,则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个球.

所以X的可能取值为3,5,6,7,;所以X的分布列为;;规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路:

(1)若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y);也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y).

(2)求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.;变式训练2

已知随机变量X的分布列为;;解E(XA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,

E(XB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,

D(XA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,

D(XB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.

由此可见E(XA)=E(XB),D(XA)D(XB),

故两种材料的抗拉强度的平均值相等,但材料乙的稳定程度明显不如材料甲,即甲的稳定性好.;规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小,在两种产品相比较时,只比较均值往往是不恰当的,还需比较它们的取值的离散程度,即通过比较方差,才能准确地得出更恰当的判断.

(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系,利用题目中所给出的条件,合理地列出方程或方程组求解,同时也应注意合理选择公式,简化问题的解答过程.;变式训练3

为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的环数为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.

(1)求X,Y的分布列;

(2)求X,Y的均值与方差,以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.;解(1)依题意,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.

∵乙射中10,