初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 9讲 因式分解.docxVIP

第9讲因式分解

知识方法

将一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫作因式分解.因式分解是一种重要的恒等变形，在数学中有广泛的应用.

因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法外，我们还要掌握换元法、主元法、配方法、待定系数法等.

(1)换元法.在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替，从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.

在因式分解中用换元法又可细分为整体代换、对称代换、倒数代换、平均代换等.

(2)主元法.在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素，将其他字母看作常数，然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫作主元法.用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来.

(3)配方法.通过添项、拆项，利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式.

(4)待定系数法.在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值，从而解决问题的方法.

经典例题解析

【例9-1】在有理数范围内分解因式：

(1)16(6x-1)(2x-1)(3x+1)(x--1)+25=.

(2)(6x--1)(2x-1)(3x-1)(x--1)+x2=.

(3)(6x--1)(3x--1)(4x--1)(x--1)+9x?=.

解(1)原式=(6x-1)(4x-2)(6x+2)(4x-4)+25=(24x2-16x+2)(24x2-16x-8)+25.

设24x2-16

(2)原式=(6x-1)(x-1)(2x-1)(3x-1)+x2=(6x2-7x+1)(6x2-5x+1)+x2,

设6x2-7

(3)原式=(6x-1)(x--1)(4x-1)(3x--1)+9x?=(6x2-7x+1)(12x2-7x+1)

+

设6x2-7

神通换元法是因式分解的常用方法，需要根据具体的题目选择恰当的方式换元.

【例9-2】分解因式:2x

解设2x-3y=a,3x-2y=b,-5x+5y=c,显然a+b+c=0.

由公式a3+b3+c3-3abc

【例9-3】分解因式:xy

解设xy=a,x+y=b,则

原式=a(a+1)+(a+3)-2b—1-(b-1)2

=

=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)

=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1).

评注例9-3这种方法叫作对称代换，一般对于对称式，适于采用对称代换法换元.

【例9-4】分解因式:x

解原式=

设x+1x=t

原式=

=

评选例9-4这种方法叫作倒数代换，适用于系数降幂排列时系数对称的多项式.

【例9-5】分解因式:x

解设x+2=t,则

原式：=t

=

评注例9-5这种方法叫作平均代换，平均代换的目的是消去四项式中的奇数项，以便利用二次三项式的方法分解.

【例9-6】分解因式:2

解原式=(2x-z)y2-2(2x--z)xy+(2x--z)x2=(2x--z)(y-x)2.

按进按一个字母降幂排列，是例9-6这类形式的多项式采用分组分解法来分解因式的分组根据.

【例9-7】因式分解:(1

解原式：=

=

=

=

=x

护理配方法也是因式分解的重要方法，配方后就有利于应用公式来解题.

【例9-8】关于x、y的二次式.x2+7xy+my

解设x2+7xy+my2--5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d),即

x2+-7

比较对应项的系数，得

a+c=7,①

ac=m,②

b+d=-5,③

ad+bc=43,④

bd=-24.