2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）第03讲 空间直线、平面的平行与垂直（教师版）.docxVIP

第03讲空间直线、平面的平行与垂直

【学习目标】

1.借助长方体,在直观认识空间点,直线,平面的位置关系的基础上,抽象出空间点,直线,平面的位置关系的定义,了解以下基本事实(公理)和定理

2.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的性质定理,并加以证明

定理1：一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行．

定理2：两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行

定理3：垂直于同一个平面的两条直线平行

定理4：两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直

3.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的判定定理

定理5：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行

定理6：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行

定理7：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直

定理8：如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直

4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．

【基础知识】

一、空间中直线与平面之间的位置关系

1.直线在平面内,则它们有无数个公共点．

2.直线与平面相交,则它们有1个公共点．

3.直线与平面平行,则它们没有公共点．

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．

二、直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”)

l∥α,a?β,α∩β＝b?l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)

l∥α,l?β,α∩β＝b?l∥b

三、平面与平面之间的位置关系

1.两个平面平行,则它们没有公共点．

2.两个平面相交,则它们有一条公共直线,两个平面垂直是相交的一种特殊情况．

四、平面与平面平行的判定和性质

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)

a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α?β∥?α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行

α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥b

五、证明平行时常用的其他性质

1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.

2.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.

3.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

六、判断或证明线面平行的常用方法

1.利用线面平行的定义(无公共点)．

2.利用线面平行的判定定理(aeq\s\up1(eq\o(?,\s\do1(/)))α,b?α,a∥b?a∥α)．

3.利用面面平行的性质(α∥β,a?α?a∥β)．

4.利用面面平行的性质(α∥β,aeq\s\up1(eq\o(?,\s\do1(/)))α,aeq\s\up1(eq\o(?,\s\do1(/)))β,a∥α?a∥β)．

七、证明面面平行的方法

1.面面平行的定义．

2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．

3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行．

4.两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行．

八、证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行,在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识,

如三角形的中位线与第3边平行,若四边形的一组对边平行且相等,则另一组对边平行等.

九、线线垂直

如果两条直线所成的角是(无论它们是相交还是异面),那么这两条直线互相垂直．

十、直线与平面垂直

1.如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足．垂线上

2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直

,

?l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

?a∥b

十一、平面和平面垂直的定义

1.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两