2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）第05讲 等式性质与不等式性质（教师版）.docxVIP

第05讲等式性质与不等式性质

【学习目标】

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

【基础知识】

一、不等式基本性质

二、常用的结论

1.ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

2.b0a?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；

3.ab0，cd0?eq\f(a,d)eq\f(b,c)；

4.若ab0，m0，则eq\f(a,b)eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0)；eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0)．

三、作差比较法的四个步骤

四、利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧

1.实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件．

2.技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．

五、利用不等式求范围应注意的问题

求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分别求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．

【考点剖析】

考点一：利用不等式性质判断不等关系的真假

例1．(2020-2021学年四川省成都市天府新区高一下学期期末)若a，b为实数，下列命题正确的是(???????)

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；

对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；

对于C，当时，满足，不满足，故C不正确；

对于D，若，则，故D正确.故选D.

考点二：利用不等式性质比较大小

例2．已知互不相等的正数a、b、c满足，则下列不等式中可能成立的是(???????)．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，则，得，排除A、D．

若，则，得，即，排除C．

B是可能的，如：，，.故选B

考点三：作差法比较大小

例3．比较与的大小．

【答案】

【解析】,

.

考点四：利用不等式性质求变量范围

例4．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知，，则的取值范围是(???????)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，，所以，

所以的取值范围是，故选D.

考点五：利用不等式性质证明不等式

例5．求证：

(1)若，且，则；

(2)若，且，同号，，则；

(3)若，且，则．

【解析】(1)证明：因为，所以，

又，故，

即；

(2)证明：因为，，所以，

因为，同号，所以，，

故，即，所以；

(3)证明：因为，所以，

又，所以，

故.

【真题演练】

1．(2022学年】内蒙古赤峰二中高一下学期第二次月考)下列命题正确的是(???????)

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【解析】对于A，若，由可得：，A错误；

对于B，若，则，此时未必成立，B错误；

对于C，当时，，C错误；

对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.

故选D.

2.(2022学年四川省遂宁市射洪中学校高一下学期第二次月考)如果，那么下面不等式一定成立的是(???????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.故选C.

3.(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)已知，，，则的大小关系为(???????)

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【解析】，

因为，所以，

又，所以，即.故选B

4．(多选)(2022学年广东省华附高一上学期10月月考)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是(???????)

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】对于A：若，则，所以，故A正确；

对于B：若，，则，化为，可得，故B正确；

对于C：若，所以，，则，故，故C