2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）第12讲 对数与对数函数（教师版）.docxVIP

第12讲对数与对数函数

【学习目标】

1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数

2.通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性和特殊点

3.知道对数函数与指数函数互为反函数

【基础知识】

一、对数的概念

1.对数的概念：如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2.两种特殊的对数

①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg_N；

②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为lnN(其中e＝2.71828…)．

二、对数与指数的关系

1.对数的基本性质

①零和负数没有对数，即真数N0；

②1的对数为0，即loga1＝0(a0，且a≠1)；

③底数的对数等于eq\o(□,\s\up3(04))1，即logaa＝1(a0，且a≠1)．

2.两个重要的对数恒等式

①alogaN＝N(a0，且a≠1，N0)；

②logaaN＝N(a0，且a≠1)．

三、对数运算性质

如果a0且a≠1，M0，N0，那么，

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

四、换底公式

1.对数的换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a0且a≠1；c0且c≠1；b0)．

2.三个较为常用的推论

①logab·logbc·logca＝1(a0，b0，c0，且均不为1)；

②logab＝eq\f(1,logba)(a0，b0，且均不为1)；

③logambn＝eq\f(n,m)logab(a0，b0，且均不为1，m≠0)．

五、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的性质

1.定义域：(0，＋∞)．

2.值域：(－∞，＋∞)．

3.定点：(1,0)．

4.单调性：a1时，在(0，＋∞)上是增函数；0a1时，在(0，＋∞)上是减函数．

5.函数值变化

当a1，x1时，y∈(0，＋∞)，0x1时，y∈(－∞，0)；

当0a1，x1时，y∈(－∞，0)，0x1时，y∈eq\o(□,\s\up1(09))(0，＋∞)．

六、函数的概念

对数函数y＝logax(a0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域．

【考点剖析】

考点一：指数式与对数式的互化

例1．已知，则(???????)

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以.故选D

考点二：利用对数恒等式求值

例2．(2022学年湖南省衡阳市衡南县高一上学期期末)下列各式，，分别等于(???????)

A．2，5， B．2，5，35

C．2，3， D．4，3，

【答案】B

【解析】，，，故选B.

考点三：对数运算性质的应用

例3．(2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末)计算：(???????)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

；故选B

考点四：换底公式的应用

例4．(2022学年安徽省安庆市高一上学期期末)已知，，用，表示，则(???????)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知，故选D．

考点五：求对数型函数的定义域与值域

例5.(2022学年河南省扶沟县二高高一上学期考试)函数的定义域为(???????)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，，解得故选D

考点六：求对数型函数的单调区间

例6．(2022学年河北省唐县第一中学高一下学期5月月考)设函数，则的单调递增区间为_________．

【答案】

【解析】记，因为为减函数，所以当单调递增时，单调递减，

由得或，又当时，单调递减.故．故答案为.

考点七：利用对数函数的单调性比较大小

例7．(2022学年新疆喀什地区疏附县高一上学期期末)已知，则(???????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，因为，所以，

因为，即，所以.故选C

考点八：利用对数函数的单调性求参数范围

例8．(2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期末)已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为(???????)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数是上的增函数，所以，解得，

所以实数的取值范围是，故选A.

考点九：对数型函数的奇偶性

例9．(2022学年广东省珠海市斗门第一中学高一上学期12月月考)已知