5.3简单的轴对称图形（第3课时）.ppt

第五章生活中的轴对称3.简单的轴对称图形（第3课时）

不利用工具，请你将一张用纸片做的角（如图1）分成两个相等的角.

你有什么办法？C可以用对折的方法.情境引入1再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.AOB图1对这种可以折叠的角可以用折叠的方法得到角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？

图2情境引入2解：如图3，在△ACD和△ACB中，AD=AB，DC=BC，CA=CA，所以△ACD≌△ACB（SSS）.所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）.所以AC平分∠DAB（角平分线的定义）.ADBCE图3如图2，有一个简易平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将A点放角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的平分线，为什么？

利用尺规作角平分线的方法（如图4）MNC1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．3.作射线OC．则射线OC即为所求．ABO图42.分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于点C．

如图5，将∠AOB对折，情境引入3图5再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

猜想：如图5，可以发现，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD，PE是角平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.探究角平分线的性质图5

已知：如图6，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是点D，E.试说明：PD=PE.解：因为PD⊥OA，PE⊥OB，（已知）所以∠PDO=∠PEO=90°.（垂直的定义）在△PDO和△PEO中，所以PD=PE.（全等三角形的对应边相等）∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，所以△PDO≌△PEO（AAS）.验证猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.DPEAOBC图6

如图7，用符号语言表示为：推理的理由有三个必须写完全，不能少了任何一个.∠1=∠2，因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE.定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.AOBPED12图7

定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理应用所具备的条件（如图7）：（1）角平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.AOBPED12图7

辨一辨如图8，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？OABCDP图8E不一定相等.因为不能确定DP⊥OA，PE⊥OB.

辨一辨如图9，DC⊥AC于点C，DB⊥AB于点B，DB与DC相等吗？图9不一定相等.因为不能确定AD平分∠BAC.

辨一辨如图10，OP平分∠AOB，PD⊥AO于点D，PE⊥OB于点E，PD与PE相等吗？AOBPED12图10相等.

随堂练习1.如图11，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE图112.如图12，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是点D，E，PD=4cm，则PE=______cm.ADOBEPC图124因为BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，所以DE=DC.（根据角平分线的性质）

4.如图13，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，求点D到AB的距离是多少？EABCD图13因为AD平分∠CAB，∠C=90°，∠DEA=90°，所以CD=DE.因为CD=BC-BD=3，所以DE=CD=3，即点D到AB的距离是3.解：过点D作DE⊥AB于点E.

这节课我们学习了哪些知识？1.“作已知角的平分线”的尺规作图法；2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.如