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浅谈不定方程整数解的求解方法
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摘要:不定方程是数论的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容,所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程,所以不定方程又称丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程解的范围可以是有理数域,整数环,或某一代数域上的代数整数环,本文讨论的是不定方程的整数解的求解方法.).对于一般的不定方程(组),除个别情况外,没有统一的解法,因此必须就所给的不定方程(组)的具体形式进行分析,以便确定解题方向.本文具体的从二元一次不定方程,三元一次不定方程,二次不定方程,三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明不定方程的整数解的方法
二元一次不定方程整数解的求解方法
怎么判断整系数方程有无整数解.用定理1来判断。定理1若整系数方程()有整数解,则必有,反之若,则整系数()有整数解.其中表示的最大公约数;表示整除c。若整系数方程有整数解,怎么求出它的整数解时就用以下方法来求解。
1通法:若整系数方程()满足,,且,是它的一个特解,则方程()的所有整数解(通解)可以表示为
2观察法
在二元一次不定方程中,当系数a、b以及c的绝对值比较小时,可以用观察法求它的一个特解,从而得到其通解。
例1.求二元一次不定方程2x+5y=45的一切整数解。
解:因为(2|5)=1,得(2,5)|45,所以原方程有整数解
又因为5|45,所以得到方程的一个特解为
并且,.故原方程的一切整数解为:
3辗转相除法
两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。由辗转相除法也可以得出,两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示,这个重要的等式叫贝祖等式。
例2.求方程的一切整数解。
解:设得(1)
因为所以(1)式变为(2)
对(2)式施行辗转相除法:
将右端连分数中的删去,得到的渐进分数.
从而有这个等式两边同乘12
得
即
所以方程(2)的一个特解
从而得到方程(2)的一切整数解为
故原方程的一切整数解为
三元一次不定方程整数解的求解方法
因三元一次不定方程(其中)有整数解的充要条件是,当它有整数解时,若,则方程,此时,故讨论三元一次不定方程求整数解的方法只需对,行讨论.
定理:设(1),其中,,若为(1)的一个整数解,的一个整数解,则(1)的一切整数解可表示如下形式:
推论:设(1),其中,若为(1)的一个整数解,则(1)的一切整数解可表示为
例1.求不定方程的整数解.
解:易知(10,14,3)=1(10,14)=2,(3,-2)为的整数解,(1,-1,2)为原方程的一个整数解,于是据上面定理得此方程的一切整数解可表示为
例2.求不定方程的整数解.
解:易知(9,24,-5)=1,(9,24)=3,9|24+3,(-2,1,1)为的整数解,从而知(-2000,1000,1000)为原方程的一个整数解.于是据上面的推论,原方程的一切整数解可表示为
二次不定方程整数解的求解方法分解法
二元二次不定方程整数解的求解方法有余数法(分离变数法)、分解法、判别式法、公式求解法等
余数法(分离变数法)
例1.求方程的正整数解.
解:由原方程得.
∵
∴
∵,除式必定是余数9的约数.
∴
∴原方程的正整数解为.
分解法,将二次二次不定方程中的项移等号左边并分解为两个一次因式的积,等号右边的常数分解为质因数的乘积,将问题转化为求二元一次方程的整数解.
例2.求方程的正整数解.
解:原方程化为.
∴.
∴
∴原方程的正整数解为
判别式法,由一元二次方程有实数根的充要条件为其根的判别式不小于0,求得有关未知数的范围.
例3.求方程的正整数解.
解:原方程整理关于y的二次方程.①
∵方程有实数根.
∴△=.
解之,得
∵
当时,①式为:,解之得.(舍去)
当时,①式为:,解得.∴
当时,①式为:,解得.(舍去)
综上得原方程的正整数解为.
公式求解,佩尔方程和勾股数方程都有固定的求解公式,可直接应用其公式得到结果.。佩尔方程
定理:设,且不是完全平方数.则形如①的方程叫做佩尔方程.
如果是使最小的方程①的解(称为最小解),则全部解为:.
勾股数方程,方程,满足的全部正整数解可表示为.其中是满足一奇一偶,且的任意整数。
例4.求方程的整数解.
解:原
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