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河南省郑州市十九中2025届高三第四次联模数学试题试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分不必要条件
2.已知是空间中两个不同的平面,是空间中两条不同的直线,则下列说法正确的是()
A.若,且,则
B.若,且,则
C.若,且,则
D.若,且,则
3.已知函数,且关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围().
A. B. C. D.
4.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是()
A. B. C. D.
5.已知若(1-ai)(3+2i)为纯虚数,则a的值为()
A. B. C. D.
6.已知集合,集合,若,则()
A. B. C. D.
7.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()
A. B. C. D.
8.函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()
A. B.
C. D.
9.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为()
A.1605π3 B.642
10.在中,,分别为,的中点,为上的任一点,实数,满足,设、、、的面积分别为、、、,记(),则取到最大值时,的值为()
A.-1 B.1 C. D.
11.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()
A. B. C. D.
12.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()
A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个
D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,记,则的展开式中各项系数和为__________.
14.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.
15.如图,在平行四边形中,,,则的值为_____.
16.若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围有___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知矩阵的逆矩阵.若曲线:在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线,求曲线的方程.
18.(12分)已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)若函数在区间上是单调函数,试求的取值范围;
(2)若函数在区间上恰有3个零点,且,求的取值范围.
19.(12分)如图,在四棱锥中,是边长为的正方形的中心,平面,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
20.(12分)如图所示,在四棱锥中,∥,,点分别为的中点.
(1)证明:∥面;
(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.
21.(12分)已知动圆过定点,且与直线相切,动圆圆心的轨迹为,过作斜率为的直线与交于两点,过分别作的切线,两切线的交点为,直线与交于两点.
(1)证明:点始终在直线上且;
(2)求四边形的面积的最小值.
22.(10分)已知数列的各项均为正数,为其前n项和,对于任意的满足关系式.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的通项公式是,前n项和为,求证:对于任意的正数n,总有.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
试题分析:α⊥β,b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.
考点:充分条件、必要条件.
2.D
【解析】
利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断,举出反例排除.
【详解】
解:对于,当,且,则与的位置关系不定,故错;
对于,当时,不能判定,故错;
对于,若,且,则与的位置关系不定,故错;
对于,由可得,又,则故正确.
故选:.
本题考查空间线面位置关系.判
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