选择题题库40道：计算机科学与技术-数学-线性代数_线性变换与矩阵表示.docxVIP

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以下哪个矩阵表示在R^2中的90度顺时针旋转线性变换？

A．0

B．0

C．1

D．1

答案：B

解析：90度顺时针旋转线性变换的矩阵表示为0?110，将一个向量

设矩阵A=1234和矩阵B

A．19

B．5

C．1

D．17

答案：A

解析：矩阵复合变换的计算通过矩阵乘法完成，计算1234

线性变换的矩阵表示可以通过变换哪些向量来确定？

A．单位向量

B．基向量

C．随机向量

D．任意非零向量

答案：B

解析：线性变换的矩阵表示可通过观察其对标准基向量的作用来确定。

设线性变换T在标准基下的矩阵表示为A，则T的转置变换在标准基下的矩阵表示为：

A．A

B．A

C．A

D．2

答案：C

解析：线性变换的转置变换在其标准基下的矩阵表示为原表示矩阵的转置。

如果一个线性变换在R3中将向量1,0,0变换到1,1,1

A．1

B．0

C．1

D．1

答案：A

解析：矩阵的列向量直接对应于变换对标准基向量的作用结果。

下列哪个矩阵表示线性变换“伸缩”？

A．2

B．1

C．0

D．1

答案：A

解析：线性变换“伸缩”的特征是在各轴方向上均匀放大或缩小向量。

如果矩阵A表示伸缩变换，A=30

A．6

B．3

C．2

D．4

答案：A

解析：通过矩阵3002对2

线性变换的可逆性与矩阵的什么性质直接相关？

A．秩

B．空间维度

C．特征值

D．以上都不是

答案：A

解析：线性变换可逆当且仅当表示它的矩阵的秩等于矩阵的维度，即矩阵满秩。

哪个矩阵表示在R2中关于x

A．1

B．?

C．1

D．0

答案：A

解析：在R2中关于x轴的反射变换将向量x,y

以下哪个矩阵表示在R3中绕z

A．cos

B．1

C．cos

D．cos

答案：A

解析：绕z轴旋转的线性变换矩阵中，z轴的系数保持为1，x和y轴系数根据旋转角度θ的余弦和正弦变换。

一个线性变换T如果对所有向量v都有Tv=kv（

A．伸缩变换

B．旋转变换

C．投影变换

D．剪切变换

答案：A

解析：当线性变换对所有向量都仅进行缩放时，它被称为伸缩变换。

设A表示围绕y轴旋转180度的线性变换，那么A的矩阵表示是：

A．?

B．1

C．?

D．1

答案：A

解析：绕y轴旋转180度将x和z轴的分量反转。

线性变换的特征向量和特征值代表了什么？

A．变换的方向与缩放比例

B．变换的旋转角度

C．变换的剪切参数

D．变换的投影性质

答案：A

解析：特征向量表示变换受到影响的方向，特征值则表示在该方向上的缩放比例。

如果矩阵A是可逆的，则下列哪个矩阵不表示与A相同的线性变换？

A．2

B．A

C．A

D．I

答案：A

解析：2A表示在所有方向上缩放比例为2的线性变换，与A

线性变换能够表示为以下哪种形式？

A．y

B．y

C．y

D．y

答案：A

解析：线性变换中输出向量y可以表示为变换矩阵A乘以输入向量x。

什么矩阵表示线性变换“镜像反射”？

A．?

B．1

C．0

D．?

答案：D

解析：“镜像反射”变换将空间完全反转，所有向量的分量符号被反转。

线性变换在基变换后，其变换的矩阵表示会如何变化？

A．不变

B．变换为原矩阵的行列式

C．变换为原矩阵的转置

D．变为不同矩阵，具体依赖于基变换的矩阵

答案：D

解析：矩阵表示会改变，它取决于线性变换在新基下的表示，这通常涉及变换矩阵和基变换矩阵的复合。

线性变换的核（零空间）指的是什么？

A．所有变换结果为零的向量集合

B．所有变换结果为单位向量的向量集合

C．所有变换结果为自身的向量集合

D．所有变换结果为相反数的向量集合

答案：A

解析：线性变换的核指的是所有在变换后结果为零向量的向量集合。

如果线性变换T是绕x轴旋转45度，则变换的矩阵表示为：

A．1

B．cos

C．cos

D．1

答案：B

解析：绕x轴旋转的矩阵中，x轴的系数保持为1，y和z轴的系数根据旋转角度θ（此处为45度）的余弦和正弦变换。

线性变换的像（值域）是什么？

A．所有输入向量的集合

B．所有输出向量的集合

C．仅包含零向量的集合

D．所有特征向量的集合

答案：B

解析：线性变换的像（值域）是指变换的所有可能输出向量形成的集合。题目21线性变换T:R2→R2定义为T1

A．2

B．2

C．1

D．1

答案:A

解析:线性变换T在标准基底下的矩阵由T在基底向量上的值构成。因此，T的矩阵表示是将T在基底向量上的输出作为列组成的矩阵。

题目22当一个矩阵A表示线性变换，且A可逆时，线性变换T的逆变换由矩阵A?1表示，这暗示了什么关于T？-A．T