快乐课堂初中数学精讲-华师大数学八上第十二章数的开方.pdfVIP

快乐课堂初中数学精讲

华东师范大学出版社（简称“华师版”）第12章

八上第一单元数的开方

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说明：课本和一般辅导书已有内容，一般不再重复。

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《全日制义务教育数学课程标准》关于本单元内容的标准要求

（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数

的平方根、算术平方根、立方根。

（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的

平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会

用计算器求平方根和立方根。

（3）了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应。

（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围（例：估计（根号

5-1）/2与0.5哪个大？与1.0比呢？）。

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本单元包括：运算、数的概念，两块知识点。

先简要回顾一下我们已经接触过的运算和数的概念：

第一级运算是加法。减法是加法的逆运算，由于负数概念的引入，

加减法已经合并。在本级运算中，0是特殊数。

第二级运算是乘法。除法是乘法的逆运算，由于倒数概念的引入，

乘除法已经合并。在本级运算中，0和1是特殊数

由除法，把数从整数拓展到了分数，再加负号，数就拓展到了有

理数。

第三级运算是乘方。在本级运算中。0、1、和-1是特殊数。

我们要学的开方，就是乘方的逆运算。可以想像得到，乘方和开

方也是可以合并的。[到了高中，指数拓展后，就可以合并了。比如：

根号2，可以表示为2的（1/2）次方；三次根号2，可以表示为2的

（1/3）次方。]

开方时，存在开方开不尽的数，数的范围就拓展到了实数。

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在本单元，我们只学习最简单的开方运算：开平方和开立方。

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开平方，是平方的逆运算。

平方，是两个相同数相乘的积。数相同，则符号必然相同，两数

相乘，同号得正。所以，平方会改变符号，平方的结果是非负数。即

A方大于等于0。

那么反过来，在实数范围内，负数没有平方根。

由平方形式，开平方得出的结果，是平方根。如：X方=25，则X

是25的平方根，平方根必须首先写上“正负号”，表示一般有两种情

况。

由根号形式，开平方得出的结果，是算术平方根。算术，就是不

要负数的意思。因为根号是一种运算符号，而数学中规定，每种运算

符号只能得出唯一的结果。如：根号25=5。所以根号A中，不但A

要大于等于0，（根号A）整体也要大于等于0。

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由于我们从小就熟背乘法口诀，所以100以内的平方数：1、4、9、

16、25、36、49、64、81、100，大家都能记得住。根据习题经常出

现的情况，为了提高运算速度，建议最好记住11到20的平方结果：

11方=121，12方=144，13方=169，14方=196，15方=225，

16方=256，17方=289，18方=324，19方=361，20方=400。

但不要死记硬背，要发现规律，根据规律去记。这样，一是会记

得很轻松，二是万一记忆有误，也可以及时发现并纠正。

第一，尾数最好记。（用乘法口诀就行，如18方的尾数一定是八

八六十四的4）

第二，首数规律性强。1234一百多，567二百多8和9三百多。

第三，平方数之间的差有规律。13方=169和14方=196之间相差

=196-169=27=13+14。即相邻两数的平方数之间相差两数的和。这样，

把乘法转化为加法，可以提高速度，也可以做为检验方法。

其他规律或特征，大家可以自己看看想想。比如19方=361，361

度运动系列还算是名牌吧。

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开立方，是立方的逆运算。

立方，是三个相同数相乘的积。由于是三个数相乘，不会改变符

号。所以，立方根不用考虑符号问题。

和上面同样的原因，建议大家最少要记住1-5的立方结果：

1立=1，2立=8，3立=27，4立=64，5立=125，

6立=216，7立=343，8立=512，9立=729，10立=1000

记忆方法，大家自己想想看看。反正多余老师对512印象非常深，

呵呵。

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说过开平方和开立方的基本情况，现在重点说一下：给一个大数

开平方时，如何能开得准，开得快。