人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第七章 平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用.pptVIP

第三节平面向量的数量积与平面向量的应用第七章

内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破

课标解读1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.

强基础固本增分

1.两个向量的夹角

2.向量数量积的定义一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|·cosa,b为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosa,b.?3.向量数量积的性质(1)|a·b|≤|a||b|;

微思考两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗?提示不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0).

4.向量的投影(1)向量在直线上的投影(2)向量在向量上的投影给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影.?(3)投影的数量一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cosa,b为向量a在向量b上的投影的数量.?

5.向量数量积的几何意义由a·b=|a||b|cosa,b=(|a|cosa,b)|b|可知,向量数量积的几何意义为:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.6.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c

7.向量数量积的坐标表示(1)两向量的数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.?(2)平面向量长度(模)的坐标表示

(3)平面向量夹角的坐标表示设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(4)两向量垂直的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.微思考由a·b=0一定可以得出a=0或b=0吗?提示不能推出a=0或b=0,因为当a·b=0时,还有可能a⊥b.

8.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.

常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b0,反之不成立(θ为π时不成立).

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)××√√

题组二双基自测

答案A

6.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角θ=.?答案120°解析由已知得4|a|2-4a·b-3|b|2=61,因此4×42-4×4×3cosθ-3×32=61,解得cosθ=-,所以a与b的夹角θ=120°.

研考点精准突破

考点一平面向量数量积的运算例题(1)(2023·福建厦门高三期中)著名数学定理“勾股定理”的一个特例是“勾3股4弦5”,我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年.如图,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾3股4弦5”,设BC=4,E为线段AD上的动点,且满足

答案(1)A(2)D(3)11

(2)(方法1)依题意建立如图所示的平面直角坐标系,

规律方法求平面向量数量积的三种方法

答案D

考点二平面向量数量积的应用(多考向探究预测)考向1求向量的模题组(1)(2023·辽宁大连高三月考)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=.?(3)(2023·浙江宁波高三月考)平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,且(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最小值是.?

规律方法求平面向量的模的两种方法

考向2求向量的夹角题组(1)(2023·山东淄博高三月考)已知单位向量a,b,c满足a+b=c,则向量a和b的夹角为()(2)(2023·广东珠海高三期中)已知非零向量a