9.1.2分层抽样的途径+9.1-3获取数据的途径-高中数学人教版必修第二册.pdfVIP

9.1随机抽样

9.1.2分层随机抽样

通过实例了解分层随机抽样的特点和适用范围

了解分层随机抽样的必要性

学习目标掌握各层样本量化比例分配的方法

学习重点

分层随机抽样的方法及计算

学习难点

实际问题中抽样方法的选择与操作

新课导入

抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是

使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样

的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，例如，在

对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中

50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形，这种“极端”

样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计

出现较大的误差，能否利用总体中的一些额外信息对抽样

方法进行改进呢?

思考一下

名、女生有386名。能否利用这个辅助信息改进简单随机抽

祥方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平

均身高的估计效果呢?

结论

把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群

体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总

体的一个样本.由于在男生和女生两个群体中都抽取了相

应的个体，这样就能有效地避免“极端”样本.

问题2:对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量

在男生、女生中应如何分配?

结论

按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是一种比

较合理的方式，即

男生样本量一至学生级×总样本量

女生样本量=各学生级×总样本量

是多少?

结论

m?12×50≈23,

m.-71250=27

新课学习

分层抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，

每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地

进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起

作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子

总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的

大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

分层随机抽样的特点：

(1)从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部

分组成的情况.

容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于

x.

(3)分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信

息，因此利用它获取的样本更具有代表注，更能充分反映总体的情况，在实践中的

应用也更广泛.

分层随机抽样的实施步骤：

(1)根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；

(2)根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k=x;

得各n;之和为n;

到容量为n的样本.

按上述方法抽取一个容量为50的样本，其观测数据(单位：

cm)如下：

男生

164.0173.0

176.0175.0

女生

163.0164.0

164.0162.5

170.0

171.0

172.0

157.0163.0

生身高的样本平均数以及他们各自的人数，可以估计总体平均数为

170.6×326+160.6×386

≈165.2

712

即估计树人中学高一年级学生的平均身高在165.2cm左右.

分层抽样的平均数

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M

个个体的变量值，用y;,y?,…,y,表示第2层样本的各个个体的变量值，则

第1层的总体平均数和样本平均数分别为

第2层的总体平均数和样本平均数分别为

总体平均数和样本平均数分别为

m.”

均数y可以估计第2层的总体平均数『,因此可以用

估计总体平均数W.

在比例分配的分层随机抽样中，

1-N=M+A,

可得

M+x?*÷x3=M/x**M*x?=W

因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们直接可以用样本平均数w估计总体平

均数W

实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，

使得各层间差异明显、层内差异不大