考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2014年]行列式

A．(ad—bc)2

B．一(ad—bc)2

C．a2d2一b2c2

D．b2c2一a2d2

正确答案：B

解析：解一令则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式由命题

2．1．1．1(1)，即得|A|=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad一bc)2．仅(B)入选．解

二将|A|按第1行展开，然后可利用命题2．1．1．1(2)，即式(2．1．1．5)直

接写出结果：解三仅(B)入选．解四仅(B)入选．(注：

命题2．1．1．1设非零元素仅在主、次对角线上的2n阶、2n一1阶行列式分

别为D2n，D2n-1，则命题2．1．2．3设A，B分别是m阶与n阶矩

阵，则)知识模块：线性代数

2．[2008年]设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则()．

A．E—A不可逆，E+A不可逆

B．E—A不可逆，E+A可逆

C．E—A可逆，E+A可逆

D．E—A可逆，E+A不可逆

正确答案：C

解析：解一由A3=O得E=E-A3=(E－A)(E+A+A3)，E=E+A3=(E+A)(E

－A+A3)．由命题2．2．1．2知，E－A，E+A均可逆．仅(C)入选．解

二因A3=0，即A为幂零矩阵，其n个特征值全部都等于零，则A的矩阵多项

式f1(A)=E－A的n个特征值为f1(λ)｜λ=0=(1-λ)｜λ=0=1．因而|E－A|=1≠0，

故E一A可逆．A的另一个矩阵多项式f2(A)=E+A的n个特征值为f2(λ)｜

λ=0=(1+λ)｜λ=0=1．故|E+A|=1，所以E+A可逆．知识模块：线性代数

3．[2017年]设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则()．

A．E—ααT不可逆

B．E+ααT不可逆

C．E+2ααT不可逆

D．E一2ααT不可逆

正确答案：A

解析：令A=ααT，则A2=A．又令AX=λX，由(A2－A)X=(λ2－λ)X=0

得λ2－λ=0，即λ=0或λ=1．因为tr(A)=αTα=1=λ1+…+λn故得A的

特征值为λ1=…=λn-1=0，λn=1．而E－ααT的特征值为λ1=…=λn－

1=1，λn=0，从而|E－ααT|=0，E－ααT不可逆．仅(A)入选．知识模块：

线性代数

4．[2005年]设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，

AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为()．

A．

B．3

C．1／3

D．

正确答案：A

解析：解一显然矩阵A满足命题2．2．2．1中的三个条件，因而由该命

题得|A|=1．将|A|按第1行展开得到

1=|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故仅(A)入选．