人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.1.1 函数的平均变化率.pptVIP

6.1.1函数的平均变化率第六章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.理解函数平均变化率的含义,会求函数在区间上的平均变化率.2.领会以直代曲的方法.3.会求位移函数在某段时间内的平均速度,理解平均变化率的物理意义.4.通过对平均变化率的理解与运用,提升数学抽象、直观想象与数学运算的核心素养.

自主预习新知导学

一、平均变化率的概念1.假设一座山的剖面示意图如图所示,建立平面直角坐标系,A是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.自变量x表示某爬山者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时爬山者所在的高度.设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).

(1)若爬山者从点A爬到点B,自变量x和函数值y的改变量分别是多少?提示:自变量x的改变量为x2-x1,记作Δx,函数值的改变量为y2-y1,记作Δy.(2)根据y的改变量的大小能否判断山路的陡峭程度?提示:不能.山路的陡峭程度也与自变量x的改变量有关.(3)怎样用数量刻画弯曲山路AB的陡峭程度?

2.一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量

3.Δx的取值一定是正值吗?提示:不一定.Δx可以为正,也可以为负.4.公式中,若将Δx改为x1-x2,则Δf是否还是f(x2)-f(x1)?提示:若Δx=x2-x1,则Δf=f(x2)-f(x1);若Δx=x1-x2,则Δf=f(x1)-f(x2).

5.已知函数f(x)=2x+1,则函数f(x)在以x0和x0+Δx为端点的闭区间上的平均变化率为()A.-2 B.2 C.3 D.不确定解析:f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)+1-2x0-1=2Δx,故平均变化率为答案:B

二、平均变化率的几何意义1.如图,观察函数y=f(x)的图象,你能说出它在区间[x1,x2]上的平均变化率提示:直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).

2.函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率.如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,等于直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).

3.如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].

三、以直代曲已知函数y=f(x)的图象经过A(1,1),B(3,9)两点,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率是多少呢?你能估计出当x=2时y的值吗?提示:=4.直线AB的方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.当x=2时,y=5,故估计y的值为5.

四、平均速度与平均变化率1.如果物体运动的位移xm与时间ts的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1t2时)或[t2,t1](t2t1时)这段时间内的平均速度为.这就是说,物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.

2.若质点A运动的位移s与时间t的函数为s=3t2,则质点A在以3和3+Δt为端点的闭区间上的平均速度为()A.6+3Δt B.18+3Δt C.54+3Δt D.81+3Δt答案:B

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)平均变化率中的Δx可以是任意实数.(×)(2)在平均变化率公式中,Δf不能为零.(×)(3)函数的平均变化率只能说明函数在x1变化到x2时的平均变化情况.(√)

合作探究释疑解惑

探究一函数的平均变化率【例1】求函数f(x)=3x2+2在以x0和x0+Δx为端点的闭区间上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时的平均变化率.

延伸探究若本例中其他条件不变,求当x0=2,Δx=-0.1时的平均变化率.解:当x0=2,Δx=-0.1时,平均变化率为6×2+3×(-0.1)=11.7.反思感悟求函数平均变化率的主要步骤:(1)求Δx:计算自变量的改变量Δx=x1-x0.(2)求Δf:计算因变量的改变量Δf=f(x1)-f(x0).

【变式训练1】求函数f(x)=2x2+3x-5在下列区间上的平均变化率.(1)[4,5];(2)[4,4.1].

探究二平均变化率的物理意义及应用【例2】已知一物体运动的位移s