人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算.ppt

第四章4.1.1实数指数幂及其运算

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课程标准1.通过对有理指数幂、实数指数幂含义的认识,了解指数幂的拓展过程.2.理解根式运算与指数运算的内在联系.3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行实数指数幂的运算.

基础落实·必备知识全过关

知识点1n次方根1.n次方根的定义:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为.?2.n次方根的性质:(1)0的任意正整数次方根均为0,记为.?(2)正数a的偶数次方根有两个,它们互为,其中正的方根称为a的n次算术根,记为,负的方根记为;负数的偶数次方根在实数范围内,即当a0且n为偶数时,在实数范围内.?(3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为.而且正数的奇数次方根是一个数,负数的奇数次方根是一个数.?a的n次方根相反数不存在没有意义正负

根式根指数被开方数aa|a|

名师点睛1.在n次方根的概念中,关键是实数a的n次方根x满足xn=a,因此求a的n次方根,就是求一个n次方后等于a的数.2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.

过关自诊1.[北师大版教材习题](1)27的3次方根表示为;?(2)a6的3次方根表示为;?(3)16的4次方根表示为.?

知识点2分数指数幂2.负分数指数幂:当a0时,规定=(n,m∈N+).?

名师点睛1.分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法.2.正数的负分数指数幂总表示正数.3.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算法则进行计算.

过关自诊1.将下列根式化为分数指数幂:

2.将下列分数指数幂化为根式:

知识点3实数指数幂的运算性质对于任意正数a,b和实数s,t,指数幂均满足下面的运算性质:(1)asat=(a0,s,t∈R);?(2)(as)t=(a0,s,t∈R);?(3)(ab)s=(a0,b0,s∈R).?as+tastasbs

名师点睛1.我们可以类似得出:一般地,给定正数a,对任意无理数t,at都是一个确定的实数.同理规定.这样指数幂中指数的范围就扩展到了全体实数.2.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有下面两个常用的公式:(1)as÷at=as-t(a0,s,t∈R);

过关自诊[人教A版教材习题改编]式子a-π(a0)的计算结果为.?1

重难探究·能力素养全提升

探究点一利用根式的性质化简或求值【例1】[人教A版教材例题]求下列各式的值:

2.在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意讨论字母参数的取值范围,即确定中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.

探究点二根式与分数指数幂的互化并计算【例2】[人教A版教材例题改编]化简求值,将根式改为分数指数幂:

规律方法根式与分数指数幂的互化技巧(1)在分数指数幂中,若幂指数为负数,可先将其化为正数,再化为根式;(2)含有多重根号时,要理清被开方数,由里向外逐次用分数指数幂表示,最后运用相关的运算性质化简.

探究点三实数指数幂运算【例3】[人教A版教材习题改编]计算下列各式(式中字母均为正数):

规律方法1.化简结果的一个要求和两个不能

2.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂.(2)化根式为分数指数幂.(3)化小数为分数进行运算.

探究点四条件求值问题(1)a2+a-2;(2)a2-a-2.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.由a+a-1=3,两边同时平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(2)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.

规律方法条件求值的解题策略解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式之间的内在联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.要注意正确地变形,以及对一些常用公式的熟练应用.

变式训练4已知x+y=12,xy=9,且xy,求的值.解∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.又xy,

成果验收·课堂达标检测

12341.(多选题)下列等式一定成立的有()BCD

12342.[2023浙江高一]设m,n都是正整数,且n