人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较.ppt

第四章4.5增长速度的比较

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课程标准1.会求函数在给定区间上的平均变化率.2.能利用函数的平均变化率判断函数的增长速度.3.能够比较对数函数、一元一次函数、指数函数三种函数模型增长速度的差异,理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.

基础落实·必备知识全过关

知识点1平均变化率1.平均变化率(1)实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.?(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)或[x2,x1](x1x2时)上的平均变化率为.?(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加个单位,函数值平均将增加个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的.?平均变化率1快慢

2.平均变化率的求解步骤(1)确定区间[x1,x2](x2x1);(2)求出Δx=x2-x1;(3)求出Δf=f(x2)-f(x1);(4)求出平均变化率

过关自诊1.函数f(x)=x2+1,当自变量x由1变到1.1时,函数f(x)的平均变化率为()A.2.1 B.1.1 C.2 D.12.函数f(x)=kx+b在区间[x1,x2]上的平均变化率为.?Ak

知识点2增长速度的比较1.几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型一次函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y=ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“爆炸式增长”.

(3)对数函数模型对数函数模型y=logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.(4)幂函数模型当x0,α0时,幂函数y=xα是增函数,且当x0时,α越大其函数值的增长速度就越快.

2.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xα(α0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的无限增大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xα(α0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此,在区间(0,+∞)上,总会存在一个x0,当xx0时,就有logaxxαax(a1,α0).

名师点睛指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较性质函数y=ax(a1)y=logax(a1)y=xα(α0)在(0,+∞)上的单调性单调递增,且a越大,增长越快单调递增,且a越小,增长越快单调递增,且α越大增长越快增长速度越来越快越来越慢随α值的不同而不同图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着α值的不同而不同

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若f(x)=2x+1,自变量每增加1个单位,函数值将增加1个单位.()(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.()(3)指数函数f(x)=ax(a0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大.()×√×

2.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后的利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数模型 B.二次函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型D

重难探究·能力素养全提升

探究点一函数平均变化率的求解【例1】[2023辽宁沈阳高一]函数f(x)=lnx在区间[1,e]上的平均变化率为.?

变式训练1函数f(x)=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为.?-8-2Δx解析Δf=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以=-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.

探究点二平均变化率的大小比较【例2】(1)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况,下列说法正确的是.?①在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度;②在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度;③在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度;④在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度.③

(2)已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比较这三个函数在区间[a,a+1](a1)上的平均变化率的大小.

规律方法比较函数平均变化率的方法

变式训练2已知函数f(x)=4x,g(x)=5x,分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率,并比