人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 培优课 指数函数及其性质的应用.ppt

培优课指数函数及其性质的应用第四章

重难探究?能力素养全提升

探究点一与指数函数有关的定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域和值域:

规律方法求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y=ax(a0且a≠1)型还是y=af(x)(a0且a≠1)型,前者的定义域是R,后者的定义域与y=f(x)的定义域一致.y=f(ax)(a0且a≠1)的定义域由t=ax(a0且a≠1)的值域在y=f(t)的定义域内决定,因此求(a0且a≠1)型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)(a0且a≠1)型函数,要先换元,令t=f(x),求出f(x)的定义域D,再求出f(x)的值域A,然后画出y=at(t∈A)(a0且a≠1)的草图或利用函数的单调性,求出原函数的值域.(3)利用均值不等式求与指数函数有关的函数的值域问题.

变式训练1求下列函数的定义域和值域:

探究点二解指数方程或不等式【例2】(1)解方程22x+2+3×2x-1=0.解(1)方程可化为4×(2x)2+3×2x-1=0.令t=2x(t0),则4t2+3t-1=0,

规律方法1.指数方程的求解方法(1)同底法:形如af(x)=ag(x)(a0且a≠1)的方程,化为f(x)=g(x)求解.(2)换元法:形如a2x+b·ax+c=0(a0且a≠1)的方程,用换元法求解,求解时应特别注意ax0.2.指数不等式的求解方法(1)形如axab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0a1两种情况进行讨论.(2)形如axb的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.(3)形如axbx的不等式,利用函数图象求解.(4)形如a2x+b·ax+c0(0)的不等式,可利用换元法转化为一元二次不等式求解.

探究点三指数型复合函数的单调性

规律方法指数型复合函数单调性的判断方法令u=f(x),x∈[m,n],如果复合的两个函数y=au(a0且a≠1)与u=f(x)的单调性相同,那么复合后的函数y=af(x)(a0且a≠1)在区间[m,n]上是增函数;如果两者的单调性不同(即一增一减),那么复合后的函数y=af(x)(a0且a≠1)在区间[m,n]上是减函数.

当堂检测1.已知2x21-x,则x的取值范围是()答案C

A.(-∞,1) B.(-∞,-1]C.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.(-∞,-1]∪[0,+∞)答案C

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,1)C.(0,1) D.(-1,+∞)答案A解析在同一直角坐标系中,作出函数f(x)以及y=2x的大致图象,由图象可知,在区间(-1,0)和(0,1)上f(x)2x,由此f(x)-2x0的解集为(-1,0)∪(0,1),故选A.

解易知函数的定义域为R,令t=-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,则y=2t∈(0,8],

本课结束