人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 本章总结提升.ppt

第九章本章总结提升

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专题突破·素养提升

专题一应用正弦定理、余弦定理解三角形1.在解三角形时,注意以下两点:(1)选择合适的三角形;(2)合理选择正(余)弦定理.还要与平面几何中的有关性质定理结合起来,同时注意题目隐含条件的挖掘.2.应用正(余)弦定理解三角形,提升直观想象与逻辑推理的核心素养.

【例1】在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是()A.b=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=12,c=15,A=120°C解析选项A中已知两角及夹边,有唯一解;选项B中已知两边及夹角,有唯一解;选项C中,由a=14,b=16,A=45°及正弦定理得,,所以sinB=,因为ab,A=45°,所以角B有两解;选项D中,A是最大角,但ac,所以无解.

【例2】[2023浙江温州期中]如图,在四边形ABCD中,已知A=120°,AB⊥BC,AD=3,AB=5,C=45°.(1)求cos∠ABD;(2)求CD的长.解(1)因为AD=3,AB=5,A=120°,所以在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA

规律方法解三角形的一般方法1.已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.2.已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理求较短边所对的角,最后利用A+B+C=π求另一角.3.已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,再由A+B+C=π求C,最后由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.

变式训练1在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A为锐角,b=2asinB.(1)求角A的大小;(2)若b=,c=3,求a.解(1)由b=2asinB及正弦定理,得sinB=2sinAsinB.

专题二三角恒等变换与解三角形的综合问题1.利用正弦定理、余弦定理解三角形是高考热点,一般以解答题的形式考查,题目常与三角函数、三角恒等变换、不等式等知识结合,近几年难度有所提升.2.解决与三角形有关的综合问题,主要提升逻辑推理与数学运算的核心素养.

角度1.判断三角形的形状

规律方法判断三角形形状的常用方法及思考方向(2)思考方向:①是否两边(或两角)相等;②是否三边(或三角)相等;③是否有直角、钝角.

变式训练2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角,(1)求角A;(2)若D为边BC上一点,且满足AD=CD=2BD,试判断△ABC的形状.

角度2.三角形边、角、面积的求解【例4】[人教A版教材习题]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,则△ABC的面积为,求b,c.

规律方法求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体,在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系,由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,通过定理的运用能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.

变式训练3在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,bcosA+acosB=3ccosA.(1)求cosA;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.解(1)因为bcosA+acosB=3ccosA,所以由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=3sinCcosA,即sin(A+B)=3sinCcosA,所以sinC=3sinCcosA.因为C∈(0,π),所以sinC≠0,

专题三解三角形的应用1.解三角形在实际生活中的应用问题常涉及到距离、高度、角度等,解决此类问题,关键是根据题意将实际问题抽象为三角形模型,然后利用正弦定理、余弦定理求解,并将结果还原为实际问题进行检验.2.掌握解三角形在实际生活中的应用,提升逻辑推理和数学建模素养.

【例5】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30