人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 5.2.1 第1课时 等差数列的定义.pptVIP

5.2.1第1课时等差数列的定义第五章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式及其应用.3.掌握等差数列的判定方法.4.提升数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

自主预习新知导学

一、等差数列的概念1.观察下列现实生活中的数列,思考后面的问题.2024年2月中,每个星期日的日期为4,11,18,25;我国有用12生肖纪年的习惯,例如,2020年是鼠年,从2020年开始,鼠年的年份为2020,2032,2044,2056,2068,2080,….(1)上述两个数列从第2项起,每一项与前一项的差有什么特点?提示:从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数.(2)每个数列中,相邻两项的递推关系是什么?提示:分别是an+1-an=7,bn+1-bn=12.

2.一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即an+1-an=d恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的公差.

3.下列数列是等差数列的是()选项C中,因为-1-1≠1-(-1),故不是等差数列;选项D中,常数构成一个公差为0的等差数列.答案:D

二、等差数列的通项公式1.对于前面涉及的两个数列,你能用首项和公差将每一个数列的任意一项表示出来吗?提示:分别为an=4+(n-1)×7,bn=2020+(n-1)×12.2.在等差数列{an}中,a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,能不能用a1与d表示an呢?怎样表示?提示:能.把各式相加可得an-a1=(n-1)d,移项得an=a1+(n-1)d.3.一般地,如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.

4.已知等差数列{an}的公差d=-1,a1=2,则a3等于()A.1 B.0 C.2 D.3解析:a3=a1+(3-1)d=2+2×(-1)=0.答案:B

三、等差数列的单调性1.在等差数列{an}的通项公式中,an与n的关系与以前所学过的什么函数有关?提示:an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d).当公差d=0时,an是n的常数函数.当公差d≠0时,an是n的一次函数.2.等差数列{an}的单调性如何?提示:当d0时,{an}是递增数列;当d0时,{an}是递减数列.3.数列{an}是等差数列的充要条件是an=kn+b,其中k,b是常数.

4.已知在等差数列{an}中,a5=3,a7=9,则{an}是()A.常数列 B.递增数列C.递减数列 D.不具备单调性解析:因为a5=3,a7=9,所以a1+4d=3,a1+6d=9,解得d=3.因为d0,所以{an}是递增数列.答案:B

四、等差数列通项公式的推广1.在等差数列{an}中,任意两项an与am有怎样的关系?能否用它们求公差?(其中nm,m,n∈N+).

3.若一个等差数列{an}中,a2=3,a7=6,则其公差d为()答案:A

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)当公差d=0时,数列不是等差数列.(×)(2)若数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,则这个数列是等差数列.(×)(3)等差数列的定义用符号语言表示,即an=an-1+d.(×)(4)等差数列的公差是相邻两项的差.(×)

合作探究释疑解惑

探究一等差数列的通项公式及应用【例1】(1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求{an}的通项公式;分析:设出首项与公差,列出方程组,并求出首项与公差,再写出通项公式.

1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,因此要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可.2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an.如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.反思感悟

【变式训练1】已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的()A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项解析:由已知得等差数列的首项a1=2,公差d=3,令2+(n-1)×3=23,解得n=8.答案:D

探究二等差数列的判定与证明(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析:先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.

判断一个数列是不是等差数列