人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1.2 向量数量积的运算律.ppt

;内容索引;课标要求;基础落实?必备知识全过关;知识点向量数量积的运算律

已知向量a,b,c与实数λ,则;名师点睛

(1)在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是在向量数量积的运算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事实上,当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.实际上,由a·b=0可推出以下四种结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.;(2)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·ca=c,因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的投影的数量相等,并不能说明a=c.如图所示,虽然a·b=b·c,但a≠c.

(3)对于实数a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)(a·b)·c=a·(b·c).()

(2)若a⊥b,则a·b=0.()

(3)若a∥b,则a·b0.()

(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).()

2.已知|a|=2,|b|=5,a,b=120°,求(2a-b)·a.;重难探究?能力素养全提升;;规律方法求向量的数量积时,常用到的结论

(1)a2=|a|2;

(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;

(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;

(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.

同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知

条件.;变式探究

对本例变形:已知e1,e2是两个单位向量,且(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-,求e1,e2.;变式训练1;;变式探究

若将本例(1)条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.;分析利用向量垂直的充要条件求参数.;规律方法1.求向量夹角问题的两种思路

(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解,直接用变形公式求值定角.

(2)a·b与|a||b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式求值定角.

2.两个向量的夹角与其数量积的关系

(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b0,且a与b不同向.

(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b0,且a与b不反向.

(3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.;变式训练2

(2022广东广州第六十五中学高一期中)已知向量|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为.

(1)若e是与b方向相同的单位向量,求a在b上的投影向量;

(2)求|a+b|;

(3)求(a+2b)·(a-3b).;;规律方法向量数量积在平面几何应用中的解题策略

(1)利用运算律结合图形先化简再运算.

(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).;变式训练3如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值等于()

A.2

B.0

C.-1

D.-2;;(方法二)以a,b为邻边作平行四边形ABCD,如图.;规律方法求向量的模的常见解法有两种,一种是利用a2=|a|2求解,特别注意不要忘记开方.另一种是把向量求模问题转化到平面几何中的长度计算上来.;学以致用?随堂检测全达标;1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60°,则a·(a-b)等于();2.已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b=();3.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.?;答案-16;5.已知两单位向量a与b的夹角为120°.若c=2a-b,d=3b-a,求c与d的夹角的余弦值.;6.(2022江苏无锡第一中学高一期中)已知向量a=-e1+2e2,b=-2e1+e2,其中e1,e2是夹角为60°的两个单位向量.

(1)求a·b及a与b的夹角θ;

(2)求|a+b|的值.;本课结束