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五年级奥数培优专题第六章组合与推理

第一讲包含与排除

【专题导引】

集合是指具有某种属性的事物的全体,它是数字中的最基本的概念之一。如

某班全体学生可以看做一个集合,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数

字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集

合,每一个学生都是这个集合的元素,数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新

的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B

的一切元素都“包含”进来加在一起,再“排除”A、B两集合的公共元素的个数,

减去加了两次的元素,即：C=A+B-AB。

在解包含与排除问题时,要善于使用形象的图示帮助理解题意,搞清楚数量

关系和逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系,用了适当的图形就显得很直观、

很清楚,因而容易进行计算。

【典型例题】

【例1】五年级96名学生都订了刊物,有64人订了少年报,有48人订了小学生

报,问两种刊物都订的有多少人？

【试一试】

1、一个班的52人都在做语文和数学作业,有32人做完了语文作业,有35人做完

了数学作业,这个班语文、数学作业都做完的有多少人？

2、五年级有112人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优,其中,语文得

优的有65人,数学得优的有87人,问语文、数学都得优的有多少人？

【例2】某地区的外语教师中,每人至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有

35人懂英语,34人懂日语,两种语言都懂的有21人,这个地区有多少个外语教

师？

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【试一试】

1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动,已知有900人爱好体育活

动,有850人爱好文娱活动,其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少

人？

2、某班在一次测验中有26人语文获优,有30人数学获优,其中语、数双优的有

12人,另外还有8人语、数均未获优,这个班共有多少个学生？

【例3】在100个外语教师中,懂英语的75人,懂日语的45人,其中必然有既懂

英语又懂日语的老师,问：只懂英语的老师有多少人？

【试一试】

1、40人都在做加试的两道题,并且至少做对了其中的一题,已知做对第一题的有

30人,做对第二题的有21人,问：只做对第一题的有多少人？

2、五年级122名同学参加语文、数学考试,每人至少有一门得优,已知语文65

人得优,数学78人得优,求只有语文一门得优的人数。

【例4】学校开展课外活动,共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同

学不同时活动,参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参

加的有25人。问这250名同学中,象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？

【试一试】

1、在100位旅客中,有70人懂英语,65人懂日语,既懂英语又懂日语的有45人,

那么,既不懂英语又不懂日语的有多少人？

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2、五（1）班有学生50人,在一次测试中,语文90分以上的有30人,数学9