人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第四章 概率与统计 4.2.5 正态分布.pptVIP

4.2.5正态分布第四章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.理解正态曲线的概念及性质.2.理解正态分布的均值、方差及其含义.3.了解3σ原则,会用正态分布解决实际问题.4.体会正态曲线、正态分布的发现过程,提升数学抽象和数据分析素养.

自主预习新知导学

正态分布

(1)由图可以得到函数f(x)的图象关于哪条直线对称?提示:直线x=72.(2)当函数f(x)取得最大值时,x的值是什么?由此可以得到μ的值是什么?提示:x=72,μ=72.(3)由以上的讨论得到函数f(x)的解析式是什么?

2.(1)正态曲线的概念:一般地,函数φ(x)=(x∈R)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“钟形曲线”,φ(x)也常常记为φμ,σ(x)).(2)正态曲线的性质:①正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点;②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1;③σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”,σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”.

(3)正态分布的概念:一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2),此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数.此时μ是X的均值,而σ是X的标准差,σ2是X的方差.(4)“3σ”原则:如果X~N(μ,σ2),那么P(X≤μ)=P(X≥μ)=50%;P(|X-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%;P(|X-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%;P(|X-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.最后的式子意味着,X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”.

(5)标准正态分布:μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布.如果X~N(0,1),那么对于任意实数a,通常记Φ(a)=P(Xa),也就是说Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞,a)内所围的面积.

3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ0),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于()A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84解析:∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2.又P(ξ≤4)=0.84,∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16,∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16.答案:A

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.(×)(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.(×)(3)正态曲线可以关于y轴对称.(√)

合作探究释疑解惑

探究一正态曲线【例1】一条正态曲线如图所示,试根据图象写出该正态分布的密度函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.

反思感悟1.要特别注意σ是随机变量的标准差.2.用待定系数法求正态分布的密度函数解析式,关键是确定参数μ与σ的值.3.当x=μ时,正态分布的密度函数取得最大值,最大值为.

【变式训练1】已知σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线如图所示,则σ1,σ2,σ3的大小关系是()A.σ11σ2σ30B.0σ1σ21σ3C.σ1σ21σ30D.0σ1σ2=1σ3

σ2=1.由正态曲线的性质可知,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0σ1σ2=1σ3.答案:D

探究二利用正态分布求概率【例2】设X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈68.3%.(2)因为P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),

延伸探究例2条件不变,若P(X≥c+1)=P(X≤c-1),求c的值.解:因为X~N(1,22),所以对应的正态曲线关于直线x=1对称.又P(X≥c+1)=P(X≤c-1),

反思感悟利用正态分布求概率的两种方法(1)对称法:由于正态曲线关于直线x=μ对称,因此关于直线x=μ对称的区间上概率相等.(2)“