人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.2.2 第1课时 导数与函数的极值.pptVIP

6.2.2第1课时导数与函数的极值第六章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.了解极大值、极小值的概念.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会根据函数的极值求参数.4.通过利用导数研究函数的极值,提高直观想象、数学运算与逻辑推理的核心素养.

自主预习新知导学

极值点与极值1.如图,函数y=f(x)在点x=d,e,f,g,h,i处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?提示:以d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比在点x=d附近其他点的函数值都小,f(d)=0,在x=d附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.类似地,函数y=f(x)在点x=e处的函数值f(e)比在点x=e附近其他点的函数值都大,f(e)=0,在x=e附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.

2.(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有①f(x)f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极大值点,此时f(x)在x0处取极大值;②f(x)f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,此时f(x)在x0处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.(2)一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有f(x0)=0.(3)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f(x0)=0.①如果对于x0左侧附近的任意x,都有f(x)0,对于x0右侧附近的任意x,都有f(x)0,那么此时x0是f(x)的极大值点.

②如果对于x0左侧附近的任意x,都有f(x)0,对于x0右侧附近的任意x,都有f(x)0,那么此时x0是f(x)的极小值点.③如果f(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则x0一定不是y=f(x)的极值点.

3.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数的图象如图所示,则函数f(x)的极小值是()A.a+b+c B.8a+4b+cC.3a+2b D.c解析:由f(x)的导函数的图象可知函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,2)内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极小值c.答案:D

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)函数的极大值一定大于极小值.(×)(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.(×)(3)可导函数f(x)在区间(a,b)内一定有极值.(×)(4)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则方程f(x)=0在区间(a,b)内一定有解.(√)(5)函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值的充要条件是f(x)=3x2+2ax+b=0有解,即Δ≥0.(×)

合作探究释疑解惑

探究一求函数的极值【例1】求下列函数的极值点和极值.分析:求f(x)的定义域→求f(x)→解方程f(x)=0→列表分析→结论

解:(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)=x2-2x-3.令f(x)=0,得x=3或x=-1.当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值-6↗

当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f(x)-0+f(x)↘极小值3↗故f(x)的极小值点为1,极小值为3,无极大值点和极大值.

求函数的极值应注意以下两点:(1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时,若方程f(x)=0的实数根较多,则应注意使用表格,使极值点一目了然;(2)讨论函数的性质要遵循定义域优先的原则.反思感悟

【变式训练1】设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f(x),且f(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)∵f(x)=3x2+2ax-9,∴f(2)=12+4a-9=15,∴a=3.∴f(x)=x3+3x2-9x,f(x)=3x2+6x-9,∴f(0)=0,f(0)=-9.∴切线方程为y=-9x.(2)令f(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:

x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)f(x)+0-0+f(x)↗27↘-5↗故当x=-3时,f(x)取极大值27,当x=1时,f(x)取极小值-5.

探究二已知函数极值求参数【例2】函数有极值点,