人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 5.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用.ppt

;内容索引;;自主预习新知导学;一、等比中项

1.(1)如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的等比中项.

(2)如果一个数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项,那么这个数列一定是等比数列.;2.已知1,a,4成等比数列,则a=()

A.2 B.-2

C.±2 D.16

解析:由已知a2=4,得a=±2.

答案:C;二、“子数列”性质

1.将等比数列{an}中的前k项去掉,剩余各项组成一个新数列,这个数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?

提示:是.首项为ak+1,公比为q.

2.取出等比数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?如果取出数列{an}中所有k的倍数项呢?

提示:是.首项为a1,公比为q2.

是.首项为ak,公比为qk.;三、“下标和”性质

1.给出以下两个等比数列{an}:

①1,2,4,8,…;

②1,-3,9,-27,….

(1)在上述每一个数列中,请你计算a2a6与a3a5的值,看它们有什么关系?若计算a1a5与a2a4呢?

提示:a2a6=a3a5;a1a5=a2a4.

(2)在上述每一个数列中,a2a6,a3a5的值与a4的值有什么关系?a1a5,a2a4与a3的值呢?;2.在公比为q的等比数列{an}中:

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则aman=apaq.;3.(1)已知在等比数列{an}中,若a1a9=9,则a4a6=()

A.3 B.±3

C.9 D.±9

(2)在等比数列{an}中,a4=4,则a2a6等于()

A.4 B.8

C.16 D.32;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)在等比数列{an}中,若a10,q0,则数列的各项均为负数.(√)

(2)在等比数列{an}中,若aman=apaq,则m+n=p+q.(×)

(3)在公比为q的等比数列{an}中,若m+n=2p(m,n,p∈N+),则aman=.(√)

(4)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.(×);合作探究释疑解惑;;合理地设出所求的数是解决此类问题的关键.一般地,若三个数成等比数列,可设为,a,aq;若三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d.;【变式训练1】(1)在等比数列{an}中,若a3=-9,a7=-1,则a5的值()

A.是3或-3 B.是3

C.是-3 D.不存在;;等比数列中的有些计算比较麻烦,但适当地利用等比数列的性质,可以简化计算.;【变式训练2】已知在递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3a7=2,则;;反思感悟;【变式训练3】已知三个数成等比数列,其积为512,若第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.;;形如an+1=kan+b(k,b为常数,k≠0)的递推式,可变形为an+1+λ=k(an+λ)构造等比数列求解,其中λ可用待定系数法确定.;(2)已知在数列{an}中,a1=3,a2=5,且Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),求数列{an}的通项公式.;(2)由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),得Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3).

∵an=Sn-Sn-1,∴an=an-1+2n-1(n≥3),

即an-an-1=2n-1(n≥3).

又a2-a1=5-3=2,∴an-an-1=2n-1(n≥2).

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2;;∴数列{bn}是首项为8,公比为8-2的等比数列.

∴bn=8×(8-2)n-1=83-2n.

假设存在常数c和m,使an+logcbn=m恒成立,

则6n+2+logc83-2n=m,即(6-2logc8)n+(2+3logc8)=m对任意n∈N+恒成立.;1.解关于等差、等比数列的综合问题时,应注意以下方法与技巧的应用.

(1)转化思想:将非等差(比)数列转化,构造出新的等差(比)数列,以便于利用其公式和性质解题.

(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.

(3)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系.

2.对于存在性问题,在解答时,首先假设结论成立,然后结合已知条件运算、推理,最后根据结果确定结论.;【变式训练5】在等差数列{an}中,公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知;【易错辨析】;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:在等比数