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思考题（3）：

1．设随量序列{X}均方收敛于随量X，试证{X}依概率收敛于X，即对任意的ε0，都有

nn

limP{|X−X|≥ε}0。

n

n→∞

E|X−X|2

证：首先类似比雪夫不等式的证明方法，证明P{|X−X|≥}≤εn，

n2

ε

以连续情形为例证明，设p(x)为X−X的密度函数，

n

222

|x−x|+∞|x−x|E|X−X|

因0≤P{|X−X|≥}pxdx()≤npxdx()≤npxdx()n，

ε

n∫∫2∫−∞22

εεε

||ε||ε

−≥−≥

xxxx

nn

且{X}均方收敛于X，即limE|X−X|20，

nn

n→∞

故limP{|X−X|≥ε}0。

n

n→∞

2．设随量序列{Xn}均方收敛于随量X，试证limE(X)E(X)。

n

n→∞

证：因0≤|EX()