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边界元与有限元

边界元法boundaryelementmethod

定义：将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边

界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。

所属学科：水利科技(一级学科)；工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科)；

工程力学（水利）(三级学科)

边界元法（boundaryelementmethod）是一种继有限元法之后发展起来的一种

新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只

在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界

元法与有限元相比，具有单元个数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线

性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的

奇异性，使求解遇到困难。

简介

边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方

法。又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方

程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区

域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比

区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较

低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程

的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于

边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹

问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分

算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及

半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本

解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，

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而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较

大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消

了边界元法只要离散边界的优点。

边界元法的基础

边界元法是基于控制微分方程的基本解来建立相应的边界积分方程，再结合

边界的剖分而得到的离散算式。Jaswon和Symm于1963年用间接边界元法

求解了位势问题；Rizzo[3]于1967年用直接边界元法求解了二维线弹性问题；

Cruse[4]于1969年将此法推广到三维弹性力学问题。1978年，Brebbia用加权

余量法推导出了边界积分方程，他指出加权余量法是最普遍的数值方法，如果以

Kelvin解作为加权函数，从加权余量法中导出的将是边界积分方程——边界元

法，从而初步形成了边界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。

边界元法的发展

经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分

析方法。在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同

时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，

为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。在方法与应用方面，现在，边界

元法已应用到工程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经规范化；

对非线性问题，其方法亦趋于成熟。在软件应用方面，边界元法应用软件已由原

来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元

法程序包发展。我国约在1978年开始进行边界元法的研究，