北京市西城区2024届高三下学期5月模拟测试数学（原卷版）(1).docx

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西城区高三模拟测试试卷

数学试题

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题共40分

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）.

1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）

A B. C. D.

2.已知向量，满足，，则（）

A. B. C. D.

3.已知集合，．若，则的最小值是（）

A. B. C. D.

4.设，则（）

A. B. C. D.

5.已知．则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率为，则（）

A B. C. D.

7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（）

A. B. C. D.

8.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该楔体形构件的体积为（）

A. B. C. D.

9.已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

10.一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）

A. B. C. D.

第二部分非选择题共110分

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）.

11.函数定义域是_______．

12.已知圆经过点和，且与直线相切，则圆的方程为_______．

13.已知函数．直线与曲线的两个交点如图所示，若，且在区间上单调递减，则_______；_______．

14.已知函数，，其中．

①若函数无零点，则的一个取值为_______；

②若函数有4个零点，则_______．

15.在数列中，，．给出下列三个结论：

①存在正整数，当时，；

②存在正整数，当时，；

③存在正整数，当时，．

其中所有正确结论的序号是_______．

三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.

16.已知函数．在中，，且．

（1）求的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长．

17.如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题．

条件①：；条件②：；条件③：平面．

（1）求证：为的中点；

（2）求直线与平面所成角的大小，及点到平面的距离．

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18.为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．

年份

产量万台

销量万台

记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．

（1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；

（2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；

（3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明

19已知函数，其中．

（1）若在处取得极小值，求值；

（2）当时，求在区间上的最大值；

（3）证明：有且只有一个极值点．

20.已知椭圆的一个顶点为，焦距为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是第一象限内椭圆上一点，过作轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与轴的交点为．求证：三点共线．

21.已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．

（1）当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；

（2）已知数列．

（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；

（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．