人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系.ppt

第四章4.3指数函数与对数函数的关系

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课程标准1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,清楚它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决问题.

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知识点1反函数的概念1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中的值,只有与之对应,那么,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到.?2.反函数的记法一般地,函数y=f(x)的反函数记作.?任意一个y唯一的xx是y的函数y=f-1(x)

名师点睛1.反函数概念的理解当一个函数的自变量和因变量一一对应时,可以把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量,而把这个函数的因变量作为新的函数的自变量,我们称这两个函数互为反函数.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.(2)若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的图象上;反之,若点(b,a)在反函数的图象上,则点(a,b)必在原函数的图象上.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.(4)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同.

特别提醒只有自变量和因变量一一对应的函数才有反函数,如一次函数y=kx+b(k≠0)、反比例函数y=(k≠0)、指数函数y=ax(a0且a≠1)、对数函数y=logax(a0且a≠1),都有反函数.像二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),在整个定义域上没有反函数,因为关于对称轴x=-对称的两个不同的自变量对应同一个函数值,它不是自变量和因变量一一对应的函数,所以没有反函数.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任意一个函数都有反函数.()(2)y=2x与互为反函数.()(3)函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称.()××√

2.函数y=ax(a0且a≠1)与函数y=logax(a0且a≠1)的解析式有何内在联系?提示根据对数式与指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一过程可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的.3.函数y=ax(a0且a≠1)与函数y=logax(a0且a≠1)的单调性一致吗?提示当0a1时,上述两个函数均是其定义域上的减函数;当a1时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性一致.

知识点2指数函数与对数函数的关系指数函数y=ax(a0且a≠1)与对数函数y=logax(a0且a≠1)互为反函数,它们的图象和性质对比如下表:

名称指数函数对数函数定义域R(0,+∞)值域(0,+∞)R奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数单调性当a1时,y=ax在R上为增函数;当0a1时,y=ax在R上为减函数当a1时,y=logax在区间(0,+∞)上为增函数;当0a1时,y=logax在区间(0,+∞)上为减函数

名称指数函数对数函数对称性y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称函数值的变化情况①当a1时,若x0,则y1;若x=0,则y=1;若x0,则0y1.②当0a1时,若x0,则0y1;若x=0,则y=1;若x0,则y1①当a1时,若x1,则y0;若x=1,则y=0;若0x1,则y0.②当0a1时,若x1,则y0;若x=1,则y=0;若0x1,则y0

过关自诊1.[2023广西百色高一校考]设a∈R,若f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),则a=()A.7 B.3 C.1 D.-1A解析∵f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),∴f(x)=log2(x+a)的图象经过点(1,3),∴f(1)=log2(1+a)=3,解得a=7.故选A.

2.函数y=f(x)的反函数存在,若点(2,1)在y=f(x)的图象上,则其反函数的图象一定过点.?3.函数y=ln(2x)的反函数是.?(1,2)

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探究点一求反函数【例1】求下列函数的反函数:(1)f(x)=;(2)f(x)=5x+1.

规律方法求函数f(x)的反函数f-1