人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.1.3 基本初等函数的导数.ppt

6.1.3基本初等函数的导数第六章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.理解导函数的概念,并能进行简单的应用.2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.3.通过基本初等函数的导数公式的简单应用,提高数学运算的核心素养.

自主预习新知导学

一、导函数的概念1.已知函数f(x)=x2,任取x0∈R,判断函数f(x)在x=x0处是否可导.若可导,求出f(x0).2.在问题1中,f(x0)与x0具有怎样的关系?提示:f(x0)是x0的函数.

3.一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导,则称f(x)可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f(x).于是,在f(x)的定义域内,f(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作

二、基本初等函数的导数公式1.完成以下函数的导数公式表.

2.你能总结出函数y=xα(α≠0)的导数是什么吗?提示:能,y=xα(α≠0)的导数是y=αxα-1.

4.下列说法正确的是()A.若y=cosx,则y=sinxB.若y=sinx,则y=-cosx答案:C

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)常数函数的导数为它本身.(×)(2)f(x0)与[f(x0)]表示的意义相同.(×)(3)f(x)在x=x0处的函数值就是函数f(x)在x=x0处的导数值.(√)

合作探究释疑解惑

探究一用求导公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数.

求简单函数的导函数有两种基本方法:(1)利用导数的定义求导,但运算比较复杂;(2)利用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.在解题时,应先根据所给问题的特征,将题中的函数化为基本初等函数,再选择合适的求导公式求解.反思感悟

【变式训练1】求下列函数的导数.(1)y=x-5;(2)y=4x;解:(1)y=-5x-6.(2)y=4xln4.

探究二利用导数公式求切线方程

延伸探究

求函数在某一点处的导数,需要先对原函数进行求导,再将变量值代入导函数求解.反思感悟

探究三导数的综合应用【例3】已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在x轴上方抛物线弧OA上求一点P,使△ABP的面积最大.解:(方法一)因为|AB|为定值,所以要使△PAB的面积最大,只要点P到直线AB的距离最大,即只要抛物线弧OA在点P处的切线平行于AB即可,如图所示.设P(x,y),由题意知,点P在x轴上方,由y2=x(y0),得y=1,所以点P的坐标为(1,1).

利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数求最值的方法确定点P的坐标.反思感悟

【变式训练2】设P是曲线y=ex上的任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.?

随堂练习

1.设y=e3,则y=()A.3e2 B.e2C.0 D.以上都不是解析:∵e3是常数,∴y=0.故选C.答案:C

2.函数y=lgx的导数为()答案:C

3.已知f(x)=xα,若f(-1)=-4,则α=()A.4 B.-4 C.5 D.-5解析:∵f(x)=(xα)=αxα-1,∴f(-1)=α(-1)α-1.又f(-1)=-4,∴α(-1)α-1=-4.将各选项代入检验,知当α=4时等式成立.故选A.答案:A

本课结束