人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.1.4 第1课时 函数的和、差、积、商的求导法则.pptVIP

第1课时函数的和、差、积、商的求导法则第六章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.能利用导数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数.2.通过导数的四则运算法则的应用,提高逻辑推理与数学运算的核心素养.

自主预习新知导学

导数的运算法则1.已知函数f(x)=x2,g(x)=x.(1)你能判断出f(x)+g(x)的导数与f(x),g(x)有什么关系吗?提示:f(x)+g(x)=x2+x,[f(x)+g(x)]=(x2+x)=2x+1,而f(x)=(x2)=2x,g(x)=x=1,所以[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x).(2)你能判断出f(x)g(x)的导数与f(x),g(x)有什么关系吗?提示:f(x)g(x)=x3,[f(x)g(x)]=(x3)=3x2,而f(x)=(x2)=2x,g(x)=x=1,所以[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x).(3)当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]等于什么?提示:[cf(x)]=cf(x).

2.一般地,如果两个函数f(x),g(x)都可导,则(1)和(差)的导数[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x).(2)积的导数[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x).特别地,当g(x)=C(C为常数)时,[Cf(x)]=Cf(x).(3)商的导数

3.函数y=x3cosx的导数是()A.y=3x2cosx+x3sinx B.y=3x2cosx-x3sinxC.y=3x2cosx D.y=-x3sinx解析:y=(x3cosx)=3x2cosx+x3(-sinx)=3x2cosx-x3sinx,故选B.答案:B

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)和的导数就是导数的和,差的导数就是导数的差.(√)(2)积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商.(×)

合作探究释疑解惑

探究一导数的四则运算【例1】求下列函数的导数.(1)f(x)=(x+2)(x-3);(2)f(x)=lgx-3x;

解:(1)∵f(x)=x2-x-6,∴f(x)=(x2-x-6)=2x-1.

应用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则解决函数的求导问题时,应注意以下几点:反思感悟

【变式训练1】求下列函数的导数.(1)y=x5-3x3-5x2+6;(2)y=(2x2+3)(3x-2);

解:(1)y=(x5-3x3-5x2+6)=5x4-9x2-10x.(2)(方法一)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)·(3x-2)=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.(方法二)∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,∴y=18x2-8x+9.

探究二求曲线的切线方程【例2】设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得曲线在点(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.答案:D

求曲线的切线方程关键是正确求解函数的导数,要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”是两种不同的说法.反思感悟

故切线方程为y-(-1)=-2(x-0),即2x+y+1=0.答案:2x+y+1=0

探究三求参数的值【例3】已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b=.?答案:1

反思感悟与切线有关的参数问题,通常根据以下三个关系列出关于参数的方程组,进而解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.

解:由题意得,f(x)=x2-ax+b,则f(0)=b=0.因为点P既在曲线y=f(x)上,又在切线y=1上,所以f(0)=c=1.故b的值为0,c的值为1.

【规范解答】求导公式及求导法则的综合应用【典例】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;(2)若函数的导数f(x)在区间(-1,1)内只有一个零点,求实数a的取值范围.规范展示(1)因为f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b,所以f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).又因为函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜