人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.2.1 导数与函数的单调性.ppt

6.2.1导数与函数的单调性第六章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.理解导数与函数的单调性的关系.2.能利用导数判断函数的单调性.3.会用导数求函数的单调区间.4.能根据函数的单调性,求参数的取值范围.5.通过研究函数的单调性与导数,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.

自主预习新知导学

函数的单调性与导数的关系

2.一般地,(1)如果在区间(a,b)内,f(x)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此f(x)在(a,b)上是增函数,如图所示;

(2)如果在区间(a,b)内,f(x)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此f(x)在(a,b)上是减函数,如图所示.

3.若函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)0是否一定成立?提示:不一定.如函数f(x)=x3在R上为增函数,但当x=0时,f(0)=0.4.设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.(1)若f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f(x)≥0在区间(a,b)内恒成立,且f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0;(2)若f(x)在区间(a,b)内单调递减,则f(x)≤0在区间(a,b)内恒成立,且f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.

5.已知函数f(x)的图象如图所示,则导函数f(x)的图象可能为()答案:C

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)在区间(x1,x2)内的导数比在区间(x2,x3)内的导数大,则函数f(x)在区间(x1,x2)内比在区间(x2,x3)内增长得快.(×)(2)若f(x)≥0在区间(a,b)内恒成立,则f(x)在区间(a,b)内单调递增.(×)

合作探究释疑解惑

探究一导数与函数图象的关系【例1】已知函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图所示.若y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式f(x)0的解集为.?

延伸探究1.若例1的条件不变,试求不等式f(x)0的解集.

2.若例1的条件不变,试求不等式xf(x)0的解集.

在研究一个函数的图象与其导函数之间的关系时,要注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间上单调递增,在哪个区间上单调递减;而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间上大于零,在哪个区间上小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.反思感悟

【变式训练1】已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.f(x)在区间(-3,1)内单调递增B.f(x)在区间(1,3)内单调递减C.f(x)在区间(2,4)内单调递减D.f(x)在区间(3,+∞)内单调递增解析:由f(x)的单调性与f(x)的正负之间的关系进行判断,当x∈(2,4)时,f(x)0,故f(x)在区间(2,4)内单调递减,其他判断均错.故选C.答案:C

探究二求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=3x2-2lnx.

1.利用导数求函数单调区间的基本步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)由f(x)0(或f(x)0),解出相应的x的取值范围;(4)结合定义域写出单调区间.2.当f(x)不含参数时,可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.当f(x)含参数时,一般要对参数进行分类讨论,从而得到f(x)的单调区间.3.当求得的单调区间不止一个时,单调区间之间要用“,”隔开,或用“和”相连.反思感悟

解:f(x)=-ax2+2x.①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).②当a0时,令f(x)0,得(-ax+2)x0,

探究三已知函数的单调性求参数的取值范围(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1,4]上单调递减,求a的取值范围.因为h(x)在区间(0,+∞)内存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,

先由函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(或递减)推出f(x)≥0(或f(x)≤0)在区间(a,b)内恒成立,且在区间(a,b)任何子区间不恒为零,再利用分离参数或函数性质求解恒成立问题,对等号的取舍可单独验证说明.反思感悟

【变式训练3】若函数f(x)=ax3-x2+x-5(a∈R)在区间(-∞,+∞)内单调递增,求a