人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用.pptVIP

第2课时等比数列前n项和的性质及应用第五章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握等比数列前n项和的性质的应用.2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.3.提升逻辑推理与数学运算素养.

自主预习新知导学

一、等比数列前n项和性质1.在等差数列{an}中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,……成等差数列吗?提示:是的.2.若数列{an}为等比数列,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列吗?提示:因为a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列.3.若数列{an}为等比数列,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列吗?提示:是的.4.在等比数列{an}中,公比q≠-1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,……是否成等比数列?提示:成等比数列.

5.(1)在等比数列中,间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列,即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……成等比数列,公比为qn(q≠1).(3)Sn+m=Sn+qnSm.推导如下:设首项为a1,公比为q.若q=1,则显然成立;

此性质还可如下推导:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+…+an+m-1+an+m=Sn+a1·qn+a2·qn+a3·qn+…+am·qn=Sn+qn(a1+a2+…+am)=Sn+qnSm.

6.已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则S6=.?解析:由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,又S2=2,S4-S2=4,∴S6-S4=8,∴S6=8+S4=14.答案:14

二、等比数列前n项和Sn与函数的关系1.等比数列前n项和公式,是否可以写成Sn=A(qn-1)(Aq≠0,且q≠1)的形式?若可以,A等于什么?

数列的前n项和Sn是关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时,因为a1≠0,Sn=na1,所以Sn是关于n的正比例函数.当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,……的图象是函数y=-Aqx+A图象上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,……的图象是正比例函数y=a1x图象上的一群孤立的点.

4.在等比数列{an}中,前n项和Sn=3n+1+r,则r的值为()A.1 B.-1 C.3 D.-3解析:根据等比数列前n项和公式的特点可知,Sn=3·3n+r,因此,r=-3.答案:D

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)等比数列{an}共2n项,其中奇数项的和为240,偶数项的和为120,则该等比数列的公比q=2.(×)(2)已知等比数列{an}的前n项和,则a=1.(×)(3)若Sn为等比数列的前n项和,则S3,S6,S9成等比数列.(×)

合作探究释疑解惑

探究一等比数列前n项和的性质的应用【例1】在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析:用求和公式直接求解或用性质求解.

方法二:∵数列{an}为等比数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),

此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立方程组,求出a1和q,再求解;这种方法思路自然清晰,但有时运算较为复杂.若能联想相关性质(如等比中项),运用性质求解,则可以提高解题速度,减少解题时间.特别是在客观题解答中,有时能起到事半功倍的作用.反思感悟

【变式训练1】一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项和为170,求出数列的公比和项数.

探究二等差数列与等比数列的综合应用(1)求S2和S3;(2)求此数列{an}的前n项和公式;(3)求数列{Sn}的前n项和.分析:先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求数列{Sn}的前n项和.

利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值,同时熟悉两种数列性质的推导过程,降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.反思感悟

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【思想方法】分类讨论思想在分段数列中的应用提示:显然奇数项组成等差数列且公差为4,偶数项组成等比数列且公比为9.解:当n为偶数时,设n=2m(m∈N+),Sn=1+5+…+(4m-3)+9+92+…+9m

分段数列求和的技巧性很强,一般是转化为等差数列与等比数列求解,解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨